§ 32. Векторний добуток геометричних векторів
· Орієнтованість трійки геометричних векторів
4.1. Означення. Упорядковану трійку приведених до спільного початку некомпланарних векторів 
геометричного простору називають правоорієнтованою (або просто правою), коли найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється в напрямку руху годинникової стрілки, якщо дивитись на площину векторів 
від кінця вектора 
В оберненому випадку трійку векторів називають лівоорієнтованою (або лівою).
4.2. Зауваження. Із даного означення випливає, що орієнтованість трійки векторів змінюється на протилежну, при переставленні двох векторів між собою, та при інверсії напрямку одного з них. При так званому циклічному переставленні векторів трійки
її орієнтованість не змінюється.
4.3. Приклад. Зазвичай орти декартової системи позначають таким чином, щоб трійка векторів 
була правою. Тоді трійки векторів 
та 
є лівими, а трійка 
– правою. · Означення та властивості векторного добутку
4.4. Означення. Вектор c називають векторним добутком вектора a на вектор b, якщо він задовольняє трьом умовам:
а) 
де 
– кут між a та b;
б) вектор c спрямований перпендикулярно до площини векторів a та b;
в) вектори a, b та c утворюють праву трійку (рис.
7).
Рис. 7
Існує два позначення векторного добутку: 
або 
Будемо додержуватись першого з цих позначень, оскільки друге використовується в книжках з фізики для комутатора двох математичних величин (частіше за все, матриць або операторів).
Перелічимо основні властивості векторного добутку геометричних векторів.
4.5. Властивість. Векторний добуток дорівнює нулю у двох випадках: а) коли хоч один із векторів-співмножників дорівнює нульовому вектору; б) коли вектори-співмножники колінеарні.
Випливає з означення 4.4.
4.6. Зауваження. Оскільки, нульовий вектор можна вважати колінеарним з будь-яким іншим, рівність нулю векторного добутку по суті є формальним критерієм колінеарності векторів. Застосування цього критерію спрощує розв'язання багатьох задач аналітичної геометрії та фізики.
4.7. Властивість. Модуль векторного добутку двох геометричних векторів дорівнює площі паралелограма S, сторони якого збігаються з векторами-співмножниками (рис. 8).
Рис. 8
4.8. Зауваження. Коли вектори-співмножники є розмірними геометричними або фізичними величинами, то розмірність їх векторного та скалярного добутків дорівнює добутку розмірностей векторів-співмножників. Оскільки геометричні вектори мають розмірність довжини, розмірність їх добутку збігається з розмірністю площі. На відміну від цього, розмірність суми векторів дорівнює розмірності векторів-доданків. Із сказаного випливає, що а) модуль векторної величини має таку ж розмірність як і сама величина; б) не можна додавати величини, що відрізняються за розмірністю.
4.9.
Зауваження. У математичному аналізі та фізиці часто розглядають поняття вектора площадки S, побудованої на двох векторах a та b, зведених до спільного початку:
4.10. Властивість. Векторний добуток є антикомутативним, тобто
Випливає з означення 4.4 та зауваження 4.2.
4.11. Властивість. Векторний добуток є асоціативним відносно скаляра, тобто 
для будь-якого скаляра 
.
Випливає з означення 4.4.
4.12. Властивість. Векторному добуткові притаманна дистрибутивність, тобто 
та 
Доведення цієї властивості буде подано пізніше (див. наслідок 4.23).
4.13. Приклад. Зважаючи на те, що орти i, j та k декартової системи координат попарно ортогональні, а векторний добуток – антикомутативний, легко вивести "таблицю векторного множення" ортів правої трійки:
(4.1)