§ 27. Ортонормовані системи векторів

3.24. Означення. Вектори x та y називають ортогональними (або перпендикулярними) якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Формула (3.2) показує, що кут між ненульовими ортогональними векторами x та y дорівнює 90^о, як це і має бути.

3.25. Властивість. Лише нульовий вектор є ортогональним будь-якому вектору.

 Якщо то це має справджуватись, зокрема, і для Але тоді й лише тоді, коли вектор x має нульову довжину, тобто, є нульовим вектором. · Символи Кронекера[12]

3.26. Означення. Символами Кронекера називають величини, що визначаються такими рівностями:

(3.5)

Зручно вважати, що є елементами одиничної матриці порядку k. Надалі, залежно від ситуації будемо розташовувати індекси символів Кронекера або знизу (), або зверху (), або один знизу, а інший зверху ().

3.27. Означення. Систему k векторів простору називають ортонормованою, коли

3.28.

 Щоб довести цю властивість, досить довести, що будь-яка нульова лінійна комбінація векторів ортонормованої системи є тривіальною. Отже, покладемо і доведемо, що в такому разі Для цього зауважимо, що

Ліва частина останньої рівності є сумою, в якій не є нулем лише доданок з Цей доданок дорівнює а отже, 

3.29. Властивість. З векторів будь-якої лінійно незалежної системи можна побудувати лінійні комбінації , які є ортонормованою системою векторів.

 Доведемо дане твердження за методом математичної індукції.

1. Оскільки, вектори системи лінійно незалежні, серед них нема нульового вектора, а отже, як перший вектор ортонормованої системи можна обрати

2. Припустимо, що вдалося побудувати ортонормовану систему векторів . Доведемо, що з векторів можна побудувати орт перпендикулярний до всіх ортів системи.

Оскільки всі вектори є лінійними комбінаціями векторів то й є лінійною комбінацією векторів Тепер зазначимо, що а) якщо то вектор (рівність його нулю вказувала б на існування нетривіальної нульової комбінації l_m+1 лінійно незалежних векторів ); б) завжди можна обрати щоб було тобто щоб був ортом; в) тому що

Із тверджень а) – в) випливає, що існує ортонормована система а отже, логічну схему математичної індукції завершено.

3.30. Означення. Базис у просторі називають ортонормованим, якщо його вектори утворюють ортонормовану систему.

3.31. Теорема. У будь-якому просторі Евкліда існує ортонормований базис.

 У , як і в кожному просторі вимірності n, існує n лінійно незалежних векторів. Згідно зі щойно доведеною властивістю, із цих векторів можна утворити ортонормовану систему яка за означеннями 2.43 та 3.30 є ортонормованим базисом. · Процес ортогоналізації

3.32. Означення. Процесом ортогоналізації називають процес (алгоритм) побудови ортонормованої системи з наданих лінійно незалежних векторів

Суть процесу ортогоналізації вже фактично було пояснено в ході доведення теореми 3.31. Із сказаного там безпосередньо випливає, що орти системи слід будувати один за одним, за допомогою таких співвідношень:

де

Наведена схема ортогоналізації пояснюється так: оскільки система векторів лінійно незалежна, то а) в ній немає нульового вектора, а значить, за орт e₁ можна взяти вектор б) вектор x₂ не паралельний до x₁, тому існує ненульовий вектор , перпендикулярний до e₁, а тому, як e₂ можна взяти і так надалі. Процесу ортогоналізації можна надати простий геометричний зміст, проілюстрований рисунком (рис. 3).

Рис. 3

3.33. Зауваження. Виходячи з конкретної системи лінійно незалежних векторів, за допомогою процесу ортогоналізації можна побудувати різні ортонормовані системи, по-різному нумеруючи вектори вихідної системи. Це ж саме стосується й ортонормованих базисів у просторі Евкліда. Оскільки, у просторі Евкліда вимірності існують різні системи лінійно незалежних векторів, у цьому просторі, взагалі кажучи, існує безліч ортонормованих базисів.