§ 27. Ортонормовані системи векторів
3.24. Означення. Вектори x та y називають ортогональними (або перпендикулярними) якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Формула (3.2) показує, що кут між ненульовими ортогональними векторами x та y дорівнює 90о, як це і має бути.
Коли хоч один із векторів дорівнює нулю, права частина рівняння (3.2) втрачає зміст, але дане вище означення охоплює також і цей випадок: оскільки нульовий вектор не має певного напрямку, його вважають ортогональним будь-якому вектору.3.25. Властивість. Лише нульовий вектор є ортогональним будь-якому вектору.
Якщо 
то це має справджуватись, зокрема, і для 
Але 
тоді й лише тоді, коли вектор x має нульову довжину, тобто, є нульовим вектором. · Символи Кронекера[12]
3.26. Означення. Символами Кронекера 
називають величини, що визначаються такими рівностями:
(3.5)
Зручно вважати, що 
є елементами одиничної матриці порядку k. Надалі, залежно від ситуації будемо розташовувати індекси символів Кронекера або знизу (), або зверху (
), або один знизу, а інший зверху (
).
3.27. Означення. Систему k векторів 
простору 
називають ортонормованою, коли 
3.28.
Властивість. Вектори ортонормованої системи лінійно незалежні. Щоб довести цю властивість, досить довести, що будь-яка нульова лінійна комбінація векторів ортонормованої системи є тривіальною. Отже, покладемо 
і доведемо, що в такому разі 
Для цього зауважимо, що
Ліва частина останньої рівності є сумою, в якій не є нулем лише доданок з 
Цей доданок дорівнює 
а отже, 
3.29. Властивість. З векторів будь-якої лінійно незалежної системи 
можна побудувати лінійні комбінації 
, які є ортонормованою системою векторів.
Доведемо дане твердження за методом математичної індукції.
1. Оскільки, вектори системи лінійно незалежні, серед них нема нульового вектора, а отже, як перший вектор ортонормованої системи можна обрати 
2. Припустимо, що вдалося побудувати ортонормовану систему векторів 
. Доведемо, що з векторів можна побудувати орт 
перпендикулярний до всіх ортів системи.
де 
Оскільки всі вектори є лінійними комбінаціями векторів 
то й є лінійною комбінацією векторів 
Тепер зазначимо, що а) якщо 
то вектор 
(рівність його нулю вказувала б на існування нетривіальної нульової комбінації lm+1 лінійно незалежних векторів 
); б) завжди можна обрати 
щоб було 
тобто щоб був ортом; в) 
тому що
Із тверджень а) – в) випливає, що існує ортонормована система 
а отже, логічну схему математичної індукції завершено.
3.30. Означення. Базис у просторі називають ортонормованим, якщо його вектори утворюють ортонормовану систему.
3.31. Теорема. У будь-якому просторі Евкліда існує ортонормований базис.
У , як і в кожному просторі вимірності n, існує n лінійно незалежних векторів. Згідно зі щойно доведеною властивістю, із цих векторів можна утворити ортонормовану систему 
яка за означеннями 2.43 та 3.30 є ортонормованим базисом. · Процес ортогоналізації
3.32. Означення. Процесом ортогоналізації називають процес (алгоритм) побудови ортонормованої системи з наданих лінійно незалежних векторів 
Суть процесу ортогоналізації вже фактично було пояснено в ході доведення теореми 3.31. Із сказаного там безпосередньо випливає, що орти системи слід будувати один за одним, за допомогою таких співвідношень:
де
Наведена схема ортогоналізації пояснюється так: оскільки система векторів лінійно незалежна, то а) в ній немає нульового вектора, а значить, за орт e1 можна взяти вектор 
б) вектор x2 не паралельний до x1, тому існує ненульовий вектор 
, перпендикулярний до e1, а тому, як e2 можна взяти 
і так надалі. Процесу ортогоналізації можна надати простий геометричний зміст, проілюстрований рисунком (рис. 3).
Рис. 3
3.33. Зауваження. Виходячи з конкретної системи лінійно незалежних векторів, за допомогою процесу ортогоналізації можна побудувати різні ортонормовані системи, по-різному нумеруючи вектори вихідної системи. Це ж саме стосується й ортонормованих базисів у просторі Евкліда. Оскільки, у просторі Евкліда вимірності 
існують різні системи лінійно незалежних векторів, у цьому просторі, взагалі кажучи, існує безліч ортонормованих базисів.