§ 33. Мішаний добуток та подвійний векторний добуток геометричних векторів

· Означення та властивості мішаного добутку

Векторний добуток геометричних векторів a та b є вектором. Розглянемо скалярний добуток цього вектора та вектора c, скориставшись означеннями скалярного та векторного добутків:

(4.2)

де – кут між векторами a та b , – кут між вектором c та вектором

4.14.

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Незважаючи на це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

4.15. Властивість. Мішаний добуток векторів правої трійки є додатним, а лівої – від'ємним.



а за означенням векторного добутку кут не перевищує 180^о, тому його синус не може бути від'ємним і знак мішаного добутку визначається знаком Якщо трійка – права, то вектор с лежить по той самий бік від площини векторів а та b, що й вектор а тому для векторів правої трійки кут – гострий, а його косинус – додатний.

4.16. Властивість. Мішаний добуток векторів правої трійки дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках, зведених до спільного початку.

Випливає із формули (4.2), властивості 4.7 та рис. 9. Властивість 4.15 забезпечує виконання нерівності 

Рис. 9

4.17. Зауваження. Іноді буває зручно користуватися поняттям орієнтованого паралелепіпеду, як такого паралелепіпеду, що побудований на орієнтованій трійці векторів. При цьому, паралелепіпед побудований на правій трійці векторів називають додатним, з огляду на знак мішаного добутку цих векторів. Паралелепіпед, побудований на лівій трійці векторів, називають від'ємним і умовно приписують йому від'ємний об'єм. Завдяки цьому, властивості 4.15 та 4.16 вдається сформулювати разом: мішаний добуток трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму орієнтованого паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках.

4.18. Наслідок. Добуток дорівнює об'єму цього ж паралелепіпеда з тією різницею, що тепер величину V виражено через площу грані, побудованої на векторах b і c, та перпендикулярну до неї висоту. Таким чином,

(4.3)

4.19. Властивість. Для мішаного добутку справедливі такі рівності

(4.4)

Очевидно з антикомутативності векторного добутку або із зауваження 4.2 та властивості 4.16.

4.20. Властивість. Мішаний добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори-співмножники компланарні.

Коли один із векторів нульовий, його можна вважати ортогональним до двох інших, що й доводить твердження теореми. Проведемо доведення для трьох ненульових векторів a, b і c.

Необхідність: нехай Доведемо, що a, b і c компланарні. Припустимо обернене. Тоді,

Достатність: нехай вектори a, b і c – компланарні. Тоді, а отже, 

4.21. Властивість. Мішаний добуток є асоціативним відносно скаляра , тобто

 Випливає з асоціативності скалярного та векторного добутків відносно скаляра.

4.22. Властивість. Мішаний добуток є дистрибутивним, тобто для будь-яких векторів a, b, c і d справедливі рівності

 Отже, перша з наведених вище рівностей безпосередньо випливає з доведеної раніше дистрибутивності скалярного добутку. Звідси ж випливають і дві інші рівності, якщо записати

та 

4.23. Наслідок. Дистрибутивність векторного добутку. Доведемо, що .

 Критерієм рівності векторів є рівність їх координат, а отже, подана векторна рівність рівносильна до трьох скалярних рівностей

Доведемо першу з них

Дві інші рівності доводяться аналогічно.

не потребує окремого доведення з огляду на антикомутативність векторного добутку.  · Вираження векторного та мішаного добутків за допомогою декартових координат

Розглянемо два вектори, розкладені по ортах декартової системи координат:

Зважаючи на дистрибутивність векторного добутку та його асоціативність відносно скаляра, маємо

Використовуючи "таблицю векторного множення" декартових ортів (4.1), одержуємо вирази

(4.5)

з якого випливає, що

(4.6)

Безпосередньою перевіркою легко впевнитися, що векторний добуток (4.4) виражається за допомогою визначника, тобто

(4.7)

Скалярний добуток вектора та вектора с дорівнює, як відомо, сумі попарних добутків декартових координат векторів-співмножників, тому для мішаного добутку векторів справедливі формули

Зважаючи на (4.6) бачимо, що ці формули відрізняються від (4.5) лише заміною декартових ортів на координати вектора с. Зробивши таку ж заміну у виразі (4.7), доходимо висновку, що

(4.8) · Подвійний векторний добуток та тотожність Лагранжа

4.24. Означення. Подвійним векторним добутком векторів a, b і c називають вектор типу та

За означенням векторного добутку 4.4, вектор ортогональний до вектора тобто, лежить у площині векторів a та b, і тому може бути представлений у вигляді їх лінійної комбінації.

(4.9)

Вектор лежить у площині векторів b та с і може бути розкладений за цими векторами за формулою

(4.10)

Більшість студентів запам'ятовує формулу (4.10) "фонетично", як фразу "абц дорівнює бац мінус цаб".

У подальшому доведемо також справедливість тотожності Лагранжа

, (4.11)

яка часто використовується для виконання розрахунків, наприклад, в електродинаміці.

* * *

Проілюструємо важливість поняття подвійного векторного добутку простою, але дуже типовою задачею електродинаміки: електрон, імпульс p якого відомий, рухається в зовнішньому магнітному полі H; треба знайти повздовжню та поперечну відносно до поля складову поля.

Для розв'язання задачі покладемо у співвідношенні (4.9) Одержимо

Звідси знаходимо вирази

Вектор p_l спрямований уздовж магнітного поля, p_t – перпендикулярно до нього.