§ 35. Обчислення мішаних і векторних добутків векторів, заданих у довільних базисах
При розв'язанні фізичних та технічних задач вибір базису буває обумовлений різними обставинами (розташуванням приладів, формою досліджуваного фізичного тіла, просторовою симетрією фізичного середовища, виглядом математичного рівняння, що описує фізичне явище і водночас визначає добірку розв'язків, які потім вважаються базисом у просторі функцій).
Тому іноді доводиться користуватися неортогональними базисами. У цьому розділі буде доведено низку співвідношень, які дозволяють обчислювати добутки векторів, заданих координатами у довільному правому базисі
. При цьому, як і раніше, будемо позначати літерою g визначник матриці Грама базису 
4.41. Теорема. Мішаний добуток векторів 
заданих координатами 
у довільному правому базисі визначається формулою
(4.14)
Для доведення теореми розглянемо допоміжний правий ортонормований базис 
У цьому базисі мішаний добуток векторів визначається вже відомою нам формулою
яку, зважаючи на (2.10) і додержуючись домовленості Ейнштейна, можна переписати у вигляді
де 
– елементи матриці 
оберненої до матриці переходу від до Останній вираз показує, що згідно з правилами матричного множення та властивостями визначників
Беручи до уваги, що матриця 
є матрицею переходу від ортонормованого базису до довільного, і використовуючи властивість 3.39, одержуємо рівності
які й довершують доведення теореми[16].
4.42.
Наслідок. Величина мішаного добутку векторів не залежить від вибору базису, тобто є інваріантом. Безпосередньо випливає з теореми 4.41, в якій встановлено, що вираз (4.14) є справедливим для будь-якого базису.
4.43. Теорема. Векторний добуток векторів 
заданих координатами 
у довільному правому базисі , визначається формулою
(4.15)
З одного боку, згідно з (3.7) та (3.21а)
З іншого боку, розкриття визначника в уже доведеній рівності (4.14) за елементами останнього рядочка дає
Порівняння двох останніх виразів показує, що
Обираючи як вектор z вектор 
маємо 
а отже,
Обираючи по черзі 
та аналогічно попередньому, маємо
Тепер можна записати розклад векторного добутку за векторами базису у вигляді
який доводить, що векторний добуток векторів х та у є визначником (4.15) розкритим за елементами першого рядочка.
4.44. Наслідок.
Вираз (4.15) є інваріантним відносно заміни одного базису на інший такої ж орієнтованості. При заміні правого базису на лівий у (4.15) перед визначником слід поставити знак "мінус". Перша частина твердження безпосередньо випливає з теореми 4.43, в якій встановлено, що вираз (4.15) є справедливим для будь-якого правого базису. Друга частина доводиться тим, що лівий базис можна перетворити на правий зміною напрямку всіх трьох базисних векторів, тобто заміною знака всіх елементів першого рядочка визначника (4.15); відомо, що при цьому визначник змінює знак.
4.45. Зауваження. Матриця Грама ортонормованого базису дорівнює одиничній матриці, для якої 
Таким чином, формули (4.12) та (4.13) є окремими випадками формул (4.15) та (4.14) відповідно.
Наприкінці параграфа наведемо низку корисних формул, що випливають з виразів (4.14), (4.15) та формул (3.14), (3.21) та (3.22)
(4.16)
(4.17)