§ 36. Символи Леві – Чивіта

· Означення символів Леві – Чивіта

Символи Леві – Чивіта дуже природно виникають при розгляді "Таблиці вектор­ного множення" для ортів ортонормованого базису у просторі

(4.18)

Усю цю таблицю можна записати у вигляді однієї формули

в якій введено величини , означені таким чином:

(4.19)

Саме величини (4.19) і називають символами Леві – Чивіта.

4.46. Означення. Символи Леві – Чивіта (абсолютно кососиметричні символи) це впорядкована сукупність 27-ми чисел з яких 21-е дорівнює нулю (коли не всі індекси різні), а шість дорівнюють де n – кількість переставлень двох індексів (першого з другим чи з третім, або першого з третім), які треба зробити, щоб розташувати індекси у "правильній" послідовності 123.

4.47. Зауваження. Для читачів, знайомих з основами тензорного числення, зауважимо, що величини є складовими тричі коваріантного, а – тричі контраваріантного абсолютно кососиметричного тензора.

Покажемо, яким чином з (4.19) можна одержати (4.18). Наприклад, для векторного добутку ортів та маємо

Векторні добутки інших ортів обчислюються аналогічно. · Властивості символів Леві – Чивіта

Перелічимо властивості символів Леві – Чивіта, які мають важливі наслідки, що часто спрощують доведення алгебраїчних співвідношень та теоретичні розрахунки у фізиці.

4.48. Властивість.

Вказана властивість безпосередньо випливає з (4.19) та рівності 

4.49. Властивість.

Доводиться безпосередньою перевіркою.

4.50. Властивість. Будь-який визначник третього порядку може бути представлений у вигляді

(4.20)

Доводиться безпосередньою перевіркою. · Запис векторного, мішаного та подвійного векторного добутків за допомогою символів Леві – Чивіта

Наведемо низку дуже корисних і часто застосовних алгебраїчних співвідношень, що є наслідками основних властивостей символів Леві – Чивіта.

4.51. Наслідок. Із виразів (4.14) та (4.20) випливає, що

(4.21)

4.52. Наслідок. З виразів (4.15) та (4.20) випливає, що

(4.22)

4.53. Наслідок. Вирази (4.16) можна представити в еквівалентній формі

(4.23)

4.54.

а отже, координати векторного добутку можна знаходити за формулами

(4.24)

4.55. Наслідок. Вектор може бути розкладений за векторами y та z за формулою

Доведення даного твердження можна вважати самостійною вправою, спрямованою на засвоєння навичок роботи з символами Леві – Чивіта. У правильності виконання цієї вправи можна впевнитися, проаналізувавши низку тотожних перетворень:

4.56. Наслідок. Для векторів простору ₃ є справедливою тотожність Лагранжа

Доводиться низкою тотожних алгебраїчних перетворень

4.57. Зауваження. Поняття векторного добутку узагальнюється на випадок n-вимірного простору Евкліда. Нехай – координати векторів у базисі Тоді векторним добутком векторів називають вектор

4.58. Зауваження. Вектор який лише множником відрізняється від векторного добутку у просторі , називають аксіальним вектором. Прикладами фізичних величин, які описуються за допомогою аксіальних векторів, є механічний та магнітний моменти, кутова частота обертання гіроскопа тощо.