§ 37. Загальна декартова система координат[17]

Поняття системи координат природно виникає при розв'язанні такого питання: яким чином можна охарактеризувати просторове положення точки P на площині?

Рис. 10	Рис. 11

Щоб відповісти на поставлене питання, спочатку проведемо на площині пряму лінію (рис. 10). Оберемо на прямій певну точку O і назвемо її нульовою точкою. Зафіксуємо ще одну точку на прямій та позначимо її цифрою 1. Довжину відрізка між точками O та 1 вважатимемо одиницею виміру відстані від нульової точки до будь-якої іншої точки площини. Положення довільної точки на прямій визначається числом , модуль якого дорівнює довжині відрізка (в обраних одиницях). Вважатимемо додатним, якщо точка розташована з того ж боку від нульової точки, що й точка 1. Якщо точки та 1 розташовані по різні боки від нульової точки, вважатимемо від'ємним. Число називають координатою точки на прямій. Далі бачимо, що введене таким чином поняття координати точки узгоджується з означенням 2.47 координат вектора.

5.1. Означення. Пряму з обраними на ній нульовою точкою O та одиничним відрізком O1 називають віссю координат.

5.2. Означення. Дві непаралельні осі координат OX та OY, що перетинаються у спільній нульовій точці, утворюють загальну декартову систему координат на площині (рис. 11). Цю систему називають також косокутною або афінною. Вісь OX називають віссю абсцис, вісь OY – віссю ординат, точку перетину координатних осей – початком координат.

5.3. Зауваження. У загальній декартовій системі координат одиниці виміру відстаней по осях OX та OY можуть бути різними. Введення різних одиниць довжини буває абсолютно необхідним. Наприклад, коли накреслюють на площині переріз тонкої плівки, її товщину часто вказують у мікронах, а ширину або довжину – у міліметрах, та ще й зображують ці одиниці довжини в різних масштабах. Якщо не зробити цього, переріз плівки буде ледь помітним (або зовсім непомітним) для неозброєного ока.

5.4. Означення. Прямі, паралельні до однієї з осей координат, називають координатними прямими декартової системи.

З декартовою системою координат на площині пов'язують вектори , що лежать на осях OX та OY (відповідно), починаються на початку координат і напрямлені в бік їх зростання (рис. 11). Ці вектори утворюють базис на площині. Кут  між осями координат відраховують від напрямку і вважають додат­ним, коли поворот вектора до напрямку вектора здійснюється проти руху годинникової стрілки, і від'ємним – в оберненому випадку.

5.5. Означення. Декартову систему координат на площині називають правою коли і лівою, коли

Повернемося до питання про положення точки P на площині.

5.6. Означення. Геометричний вектор r, початок якого лежить на початку координат, а кінець – у точці P, називають радіус-вектором точки P (рис. 12).

Рис. 12

Розкладемо радіус-вектор точки P у базисі

(5.1)

5.7. Означення. Декартовими координатами точки P на площині називають координати x, y її радіус-вектора в базисі Координату x називають абсцисою, а y – ординатою точки P.

5.8. Зауваження. Поняття декартових координат має простий геометричний зміст: координатні лінії, що проходять крізь точку P перетинаються з осями координат у певних точках M та N, які називають проекціями точки P на відповідні осі; числа x та y дорівнюють довжинам відрізків OM та ON. Декартові координати можуть бути (і історично були) означені саме як числа, що визначають положення точок перетину координатних ліній з осями координат. Але сучасне означення 5.7 має дуже істотні переваги над історичним: з одного боку, воно дозволяє використовувати потужний апарат лінійної алгебри для розв'язання геометричних задач, а з іншого – полегшує сприйняття основних положень лінійної алгебри, надаючи їм просту геометричну інтерпретацію.

З §11 видно, що існує взаємно-однозначна відповідність між векторами та їх координатами в заданому базисі. Оскільки кожна точка площини P має один-єдиний радіус-вектор, така ж відповідність існує між точками та їх координатами. Отже, відповідь на питання, поставлене на початку цього параграфа знайдено. Сформулюємо її у вигляді висновку.

5.9. Висновок. Щоб визначити положення точки P на площині, достатньо знайти її абсцису та ординату і вказати їх після літери, що символізує точку: При цьому кожній точці відповідатиме одна-єдина впорядкована пара координат і, навпаки, кожна впорядкована пара значень відповідає одній-єдиній точці на площині.

5.10. Зауваження. Дуже часто виникає потреба в знаходженні координат вектора a, початок якого лежить у точці P₁, а кінець – у точці P₂. Цю задачу легко розв'язати за допомогою правила трикутника, з якого випливає, що вектор a дорівнює різниці радіус-векторів точок P₁ та P₂, тобто . Розкладемо радіус-вектори в базисі декартової системи координат та врахуємо: по-перше, асоціативність операції додавання векторів (у даному випадку – ортів); по-друге, дистрибутивність множення вектора на скаляр:

Таким чином, розклад вектора a за базисними векторами має вигляд

(5.2)

де та – шукані координати вектора a у декартовій системі координат. Сформулюємо результат (5.2) у вигляді висновку.

5.11. Висновок. Декартові координати вектора, спрямованого із точки P₁ до точки P₂, дорівнюють різницям координат цих точок; можна вважати базисні вектори вільними і переносити їх початки до початку будь-якого прикладеного вектора. · Декартові координати у просторі

Декартові координати в тривимірному геометричному просторі застосовуються для розв'язання широкого кола математичних, фізичних та технічних задач, які в той чи інший спосіб зводяться до задачі про просторове положення геометричної точки P. Поняття, що виникають при розгляді загальної декартової системи координат у просторі подібні до тих, що введені вище у цьому параграфі: означення 5.1, 5.4, 5.7, зауваження 5.3, 5.8 та висновок 5.11 лишаються чинними і в тривимірному випадку. Тому подальше викладення буде дуже стислим.

5.12. Означення. Загальна декартова система координат у тривимірному просторі складається з трьох некомпланарних осей OX, OY та OZ, які перетинаються у спільній нульовій точці (на початку координат).

5.13. Зауваження. Непаралельні координатні площини декартової системи у просторі перетинаються вздовж осей координат або координатних ліній.

Із декартовою системою у просторі пов'язують некомпланарні базисні вектори e_x, e_y, e_z, що лежать на осях OX, OY та OZ (відповідно), починаються на початку координат і напрямлені в бік їх зростання.

5.14. Означення. Загальну декартову систему координат у тривимірному просторі називають правою, якщо трійка векторів e_x, e_y, e_z, має праву орієнтацію, і лівою, якщо ця трійка є лівоорієнтованою.

Радіус-вектор r будь-якої точки P тривимірного простору можна розкласти в базисі

(5.3)

5.15. Означення. Декартовими координатами точки P у просторі називають координати x, y, z її радіус-вектора в базисі Координату x називають абсцисою, y – ординатою, z – аплікатою точки P.

5.16. Висновок. Щоб визначити положення точки P у просторі, достатньо знайти її декартові координати і вказати їх після літери, що символізує точку: При цьому кожній точці відповідатиме одна-єдина впорядкована трійка координат і, навпаки, кожна впорядкована трійка значень відповідає одній-єдиній точці на площині.

Іще раз зауважимо, що висновок 5.11 є чинним і для векторів у тривимірному геометричному просторі.

Цілковита подібність задач про визначення положення точки у двовимірному та тривимірному просторі призводить до того, що поняття точки та її координат вдається поширити на випадок n-вимірного точкового простору. Як це робиться, показано в Додатку 2.