§ 39. Локальні базиси криволінійних систем координат
Розглянувши у двох попередніх параграфах декартові системи координат разом із відповідними базисами на площині та у тривимірному просторі, бачимо, що базисні вектори декартових систем напрямлені паралельно до координатних ліній.
З огляду на дієвість математичного апарату лінійної алгебри при розв'язанні задач аналітичної геометрії, математичного аналізу та теоретичної фізики, буває доцільно розглядати також базиси, пов'язані з іншими системами координат, такими як полярна, циліндрична, сферична та деякі інші. Але в такому разі треба враховувати, що координатні лінії, узагалі кажучи, не є прямими, а отже, напрямки базисних ортів можна вважати заданими лише в малому околі кожної точки простору. Іншими словами, базисні орти слід вважати функціями координат просторової точки.Будемо, як і раніше, пов'язувати з кожною точкою певної області 
тривимірного простору радіус-вектор r і характеризувати положення точки координатами цього вектора 
у криволінійній системі координат. Будемо вважати, що в області тривимірного простору існує ненульовий якобіан переходу від криволінійних координат до прямокутних декартових, завдяки чому можливо знайти функції 
та 
і виразити радіус-вектор будь-якої точки як
(5.11)
(Тут і надалі, якщо не обумовлено щось інше, будемо вважати, що координатні індекси набувають значень 1, 2, 3).
5.21. Означення. Векторами локального контраваріантного базису 
криволінійної системи координат в області називають величини
(5.12)
5.22.
Наслідок. Величини
та 
є координатами векторів контраваріантного локального базису в прямокутній декартовій системі. 5.23. Зауваження. Як напрямок, так і довжина векторів локального базису змінюються при переході від однієї точки простору до іншої (у цьому й полягає їх "локальність"). Особливо це треба мати на увазі при диференціюванні та інтегруванні функцій від цих векторів.
5.24. Зауваження. За обумовлених вище вихідних припущень означення 5.21 є змістовним, оскільки воно забезпечує лінійну незалежність векторів 
Дійсно, зважаючи на наслідок 5.22 мішаний добуток векторів (5.12) може бути виражений у вигляді якобіана
Згідно з вихідним припущенням якобіан
існує, а тому 
Оскільки мішаний добуток векторів (5.10) не дорівнює нулю, ці вектори некомпланарні, а значить, лінійно незалежні.
5.25. Зауваження. Вище було враховано, що базисні орти декартової системи є сталими. Оскільки можна позначити 
та 
для прямокутної системи координат з (5.10) одержуємо 
як і має бути.
5.26. Властивість. У кожній точці області базисні вектори 
дотичні до координатних ліній.
Безпосередньо випливає з означення 5.21.
5.27. Означення. Локальним коваріантним базисом 
називають базис, взаємний до локального контраваріантного базису (див. означення 3.50).
5.28. Наслідок. Величини 
та 
є координатами векторів локального коваріантного базису в прямокутній декартовій системі, тобто
(5.13)
Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі попарних добутків відповідних координат векторів співмножників, тому з (5.12) та (5.13) випливає, що
Отже, 
тобто вектори (5.13) утворюють базис взаємний до контраваріантного базису і, за означенням, вони є векторами коваріантного базису.
5.29. Властивість. У кожній точці області базисні вектори 
перпендикулярні до координатних ліній.
Безпосередньо випливає з означень 5.27, 3.50 та властивості 5.26.
Проілюструємо подані вище означення та властивості простим прикладом.
5.30. Приклад. Побудуємо локальні базиси полярної системи координат. Почнемо з контраваріантного базису
Легко впевнитися, що
Вектори коваріантного базису знаходимо з означення коваріантного базису, згідно з яким
Звідси випливає
На рис.
18 показано локальні базиси полярної системи координат у двох різних точках площини. В обох точках А і В базисні вектори
і 
мають одиничну довжину і напрямлені паралельно радіус-векторів цих точок. На відміну від цього, базисні вектори 
і 
дотичні до координатних ліній (кіл), що проходять крізь точки А і В. Довжина вектора дорівнює довжині відрізка ОА (для точки А) або ОВ (для точки В). Отже, 
для А та 
для В. Оскільки 
то 
для А та для В. Корисно мати на увазі ще деякі властивості та означення, що стосуються локальних базисів та криволінійних координат.
Рис. 18
5.31. Властивість. У кожній точці області мають місце такі співвідношення між векторами коваріантного, контраваріантного та декартового базисів
(5.14)
Безпосередньо випливає з (5.12) та (5.13). Наприклад, згідно з (5.12)
Інші співвідношення доводяться аналогічно.
5.32.
Властивість. У кожній точці області мають місце такі співвідношення між векторами двох різних (штрихованого та нештрихованого) локальних базисів: 
(5.15)
Ці співвідношення читачеві доцільно перевірити самотужки, використавши формули (5.12) і (5.14) для першого з них та формули (5.13) і (5.14) – для другого.
5.33. Означення. Координатами вектора а з точкою прикладання в області називають коефіцієнти його розкладу за векторами локального базису в цій точці, тобто 
де 
– контраваріантні, а 
– коваріантні координати.
5.34. Властивість. У кожній точці області мають місце такі співвідношення між контраваріантними (коваріантними) та прямокутними координатами вектора:
(5.16)
(x i та x, y, z – криволінійні та декартові координати області ).
Доведемо першу з двох рівностей. Для цього розкладемо а в коваріантному та декартовому базисах:
З цих розкладів випливає, що
Зваживши на означення взаємних базисів та формули (5.14) переписуємо останню рівність у вигляді
який і доводить правильність першого із співвідношень (5.16), оскільки 
Друге співвідношення доводиться аналогічно.
5.35.
Властивість. У кожній точці області мають місце такі співвідношення між прямокутними та коваріантними (контраваріантними) координатами вектора 
(5.17)
Ці співвідношення доводяться за допомогою формул (5.16), хід доведення дуже подібний до того, який був використаний для властивості 5.31, тому його переписувати не будемо.
5.36. Властивість. У кожній точці області мають місце такі співвідношення між координатами вектора у двох різних (штрихованому та нештрихованому) локальних базисах:
(5.18)
Ці співвідношення доводяться за допомогою формул (5.16) та (5.17)
Друге співвідношення доводиться аналогічно.