<<
>>

Полярная система координат.

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

Суть задания какой– либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости.

В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

М

r

r =

j

0

l

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj; y = rsinj; x2 + y2 = r2

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2.

Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

y

F1 F2

–1 0 ½ 1 2 x

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F1(–10; 0), F2(0; 0).

Построим график этой гиперболы.

y

3

F1 –9 –5 –1 0 F2 x

–3

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Полярная система координат.:

  1. Глава IМЕНТАЛИТЕТ КАК СИСТЕМА СОЦИОКУЛЬТУРНЫХ УСТАНОВОК
  2. 1.3. Основні положення загальної теорії правової системи 1.3.1. Правова система як підсистема суспільства 1.3.1. Правова система як підсистема суспільства
  3. 1.1.Координаты.
  4. Полярная система координат.
  5. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
  6. Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат.
  7. Нахождение площади криволинейного сектора.
  8. 6.3. Определение по карте координат
  9. 2.2. Системы координат, применяемые в ракетных войсках и артиллерии
  10. 2.2.3. Полярные и биполярные координаты
  11. 4.6.1. Стандартизация топографических карт в системе блока НАТО
  12. 7.3.1. Небесная сфера и системы небесных координат
  13. 7. Вопросы к зачету.