§ 41. Ортогональні криволінійні системи координат
5.46. Означення. Криволінійна система координат задана в області 
називається ортогональною, якщо скрізь у цій області 
при 
5.47.
Наслідок. В ортогональних координатних системах координатні лінії, що відповідають різним координатам, перетинаються лише під прямими кутами; будь-яка координатна лінія є нормаллю до координатних поверхонь, що відповідають тій самій координаті. Випливає з означення 5.46 і того факту, що базисні вектори дотичні до відповідних координатних ліній.
5.48. Властивість. Матриця Грама контраваріантного базису (матриця двічі коваріантного метричного тензора) ортогональної системи координат є діагональною для всіх точок області .
За означенням матриці Грама та згідно з означенням 5.46 маємо для елементів матриці Грама такі рівності 
які й доводять подане твердження.
5.49. Властивість. Матриця обернена до матриці Грама (матриця двічі контраваріантного метричного тензора) ортогональної системи координат є діагональною для всіх точок області , причому
(5.23)
Безпосередньо випливає з формул розрахунку елементів оберненої матриці і того факту, що матриця Грама є діагональною.
З означення матриці Грама випливає, що всі її діагональні елементи додатні, а тому зручно позначити 
(підсумовування немає).
5.50. Означення. Величини
(5.24)
називають коефіцієнтами Ламе криволінійної ортогональної системи координат.
5.51. Наслідок. Для ортогональної системи координат є справедливими рівності
(5.25)
а для визначника матриці Грама g справджуються рівності
(5.26)
Випливає з означень 5.46, 5.50.
5.52. Наслідок. Скрізь в області для ортогональної системи координат 
при 
у зв'язку з цим є справедливими рівності
(5.27)
Випливає з означень 5.46, 5.50 і Властивості 5.49.
5.53. Висновок. Для ортогональної криволінійної системи координат фізичний контраваріантний базис не відрізняється від фізичного коваріантного базису, взятого в тій самій точці простору, і внаслідок цього, контраваріантні фізичні координати вектора не відрізняються від його коваріантних фізичних координат. Тому можна казати просто про фізичний базис і фізичні координати, а координатні індекси завжди ставити знизу.
Випливає з (5.19), (3.14), (5.23), (5.25) та (5.27)
підсумовування за індексом і в цих перетвореннях не проводиться.
5.54. Приклад. Орти локального базису полярної системи координат пов'язані з декартовими ортами такими формулами:
У цьому разі
і тому
На рис. 19 показано орти фізичного базису полярної системи координат у двох точках простору (A та B).
Рис. 19