§ 25. Скалярний добуток геометричних векторів
Скалярний добуток векторів геометричного простору вивчають у середній школі, тому зараз доцільно лише нагадати деякі означення та вказати властивості цього добутку.
3.1. Означення.
Скалярним добутком векторів a та b називають дійсне число
[9], яке дорівнює добутку модулів 
та 
цих векторів на косинус кута 
[10] між ними: 
(3.1)
Згідно з наданим означенням скалярний добуток геометричних векторів дорівнює нулю лише у двох випадках – по-перше, коли модуль (довжина) принаймні одного з векторів-співмножників дорівнює нулю (такий вектор є геометричною точкою, його вважають нульовим елементом простору геометричних векторів), а по-друге, коли кут між векторами дорівнює 90о. З означення 3.1 випливають також такі властивості скалярного добутку.
3.2. Властивість. Скалярний добуток є комутативним, тобто для будь-яких векторів a та b справджується рівність 
3.3. Властивість. Скалярний добуток є дистрибутивним, тобто для будь-яких векторів a, b та c справджується рівність
3.4. Властивість. Скалярний добуток є асоціативним, тобто для будь-яких векторів a та b і довільного дійсного числа мають місце рівності
3.5. Властивість. Для будь-якого ненульового вектора a є справедливою нерівність 
* * *
3.6.
Означення. Ортом ненульового вектора a називають вектор одиничної довжини ea напрямлений в один бік з вектором a. Отже,
3.7. Означення. Проекцією вектора b на напрямок ненульового вектора a називають число ba, що позначається формулою
.
Проекцію вектора на певний напрямок називають також його складовою (компонентою) уздовж цього напрямку. Слід пам'ятати, однак, що іноді складовою вектора b уздовж напрямку вектора a називають вектор 
.
Тепер розглянемо праву трійку попарно перпендикулярних ортів i, j та k. Ці орти утворюють базис у геометричному просторі (див. § 9), завдяки чому, будь-які вектори a та b можуть бути розкладені по цих ортах:
Для розв'язання математичних, фізичних та технічних задач дуже часто стають у пригоді вказані нижче властивості координат та скалярних добутків векторів.
3.8. Властивість. Координати ax, ay, az будь-якого вектора a дорівнюють скалярним добуткам цього вектора на відповідні орти, тобто
3.9. Властивість. Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат, тобто
.
3.10. Властивість. З означення скалярного добутку та попередньої властивості випливає, що [11]
3.11. Властивість. Кут між векторами а та b пов'язаний зі скалярним добутком цих векторів та їх координатами у такий спосіб:
3.12. Означення. Напрямними косинусами вектора а в базисі i, j, k називають косинуси кутів 
між цим вектором і ортами i, j, k відповідно.
Напрямні косинуси слід обчислювати за формулами:
які безпосередньо випливають із властивості 3.11.