§ 26. Простір Евкліда

У багатьох розділах математики та фізики дуже важливу роль відіграє поняття скалярного добутку в просторах векторів негеометричної природи або, навіть, у просторах вимірності Цілком очевидно, що означення 3.1 скалярного добутку геометричних векторів не можна безпосередньо поширити на випадок багатовимірних просторів, оскільки воно базується на фізично-інтуїтивних поняттях відстані між точками геометричного простору та кута між двома напрямками в просторі.

Аксіоматичні означення скалярного добутку в дійсному та комплексному просторі хоч і подібні одне до одного, але дещо відрізняються. Зараз обмежимося розглядом дійсних просторів.

3.13. Означення. Дійсний n-вимірний простір називають n-вимірним простором Евкліда і позначають , коли в ньому означена операція скалярного добутку, тобто, будь-яким векторам x і y поставлено у відповідність дійсне число x Ч y і при цьому є виконаними такі вимоги (аксіоми):

1)

2)

3)

4)

З аксіом 1) – 4) випливає низка простіших наслідків.

3.14. Наслідок.

 Випливає з 1) і 2).

3.15. Наслідок.

 Випливає з 1) і 3).

3.16. Наслідок.

 Згідно з наслідком 2.19 з означення векторного простору покладемо Тоді  · Приклади просторів Евкліда

3.17. Приклад. Якщо в просторі геометричних векторів обрано одиницю виміру довжини, формула (3.1) ставить у відповідність кожній парі векторів дійсне число. Оскільки властивості 3.2 – 3.5 є окремим випадком аксіом 1) – 4), геометричний простір з обраною в ньому одиницею виміру довжини є простором Евкліда.

3.18. Приклад. Кожним двом елементам та арифметичного простору (див. приклад 2.45) відповідає матричний добуток Отже, операція матричного множення встановлює відповідність між парами елементів арифметичного простору та числами . Легко впевнитися, що ця операція задовольняє вимоги 1) – 4), а отже, числа є скалярними добутками елементів арифметичного простору, а сам простір є простором Евкліда.

3.19. Приклад. Скалярним добутком елементів f(), g() простору функцій неперервних на відрізку ₁,₂ можна вважати інтеграл

Справедливість аксіом 1) – 4) безпосередньо випливає з властивостей визначеного інтеграла.

Поглиблюючи аналогію між простором геометричних векторів і будь-яким простором Евкліда, дамо такі означення.

3.20. Означення. Довжиною вектора назвемо число

Згідно з аксіомою 4) із означення простору Евкліда довжина (модуль) ненульового вектора має бути додатним дійсним числом, а тому, у даному означенні мається на увазі арифметичне значення квадратного кореня. З наслідку 3.16 випливає, що довжина вектора дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли він нульовий.

3.21. Означення. Кутом між векторами x та y простору назвемо число , яке є розв'язком рівняння

(3.2)

Оскільки, косинус кута за модулем не може перевищувати одиниці, означення 3.21 буде коректним лише тоді, коли доведемо, що скалярний добуток будь-яких векторів простору x та y не перевищує за модулем добутку їх модулів. Зважаючи на означення 3.20 цю вимогу формулюють у вигляді нерівності

(3.3)

історично пов'язаної з іменами Шварца, Коші та Буняковського. 3.22. Доведення нерівності Коші – Буняковського.

 Для виконання нерівності Коші – Буняковського (3.3) є очевидним, тому проведемо подальше доведення, вважаючи вектор y ненульовим. Розглянемо вектор За аксіомою 4) означення скалярного добутку та наслідку 3.16 маємо, що Використовуючи аксіоми 1) та 2) одержуємо умову з якої безпосередньо випливає нерівність (3.3).

3.23.

З нерівності Коші – Буняковського випливає ще одна проста і корисна нерівність. Її записують у вигляді

(3.4)

і називають нерівністю трикутника, оскільки в окремому випадку геометричних векторів вона показує, що сторона трикутника менше суми двох інших його сторін.

 Справедливість нерівності трикутника випливає з наступного ланцюжка алгебраїчних перетворень, що базуються на властивостях скалярного добутку та нерівності (3.3):

Проведені перетворення показують, що знак рівності в (3.4) має місце тоді й лише тоді, коли тобто, коли кут між векторами x та y дорівнює нулю.