Уявлення про афінний простір

У цьому підручнику неодноразово було розглянуто лінійний простір, утворений вільними геометричними векторами, тобто напрямленими відрізками прямої лінії. Вільні геометричні вектори є рівними, коли вони мають рівні довжини та однакові напрямки.

Отже, сукупність усіх вільних геометричних векторів є простором. Водночас, прикладені вектори (вектори з початком у фіксованій точці) також можуть утворювати простір. Дійсно, з § 25 видно, що існує взаємно однозначна відповідність між геометричними точками та їх радіус-векторами. Оскільки радіус-вектори складаються за правилом паралелограма, то легко перевірити, що радіус-вектори всіх геометричних точок утворюють лінійний простір, хоч вони і не є вільними векторами, оскільки початок кожного з них обов'язково лежить на початку координат. Більш того, у загальнолюдському розумінні простором скоріше можна назвати не сукупність радіус-векторів, а сукупність точок (або дуже маленьких фізичних об'ємів) на які вказують ці вектори.

Кожній парі просторових (геометричних) точок A і B можна поставити у відповідність два геометричні вектори – та початок вектора лежить у точці A, кінець – у точці B; вектор , навпаки, починається в B і закінчується в A. Кажуть, що вектор прикладений до точки A, а вектор – до точки B.

Математичним віддзеркаленням й узагальненням інтуїтивного уявлення про загадковий і по суті неозначений простір, в якому існує світ, є аксіоматично означене поняття афінного простору.

Д1. Означення. Множину G_n елементів A, B, C,... називають n-вимірним афінним простором, а самі елементи – точками афінного простору, коли кожній упорядкованій парі елементів A,B за певним законом поставлений у відповідність один-єдиний вектор n-вимірного лінійного простору і при цьому:

1. (точку B будемо позначати також як );

2.

Д2. Зауваження. Перша аксіома обумовлює можливість відкласти від кожної точки A будь-який вектор. Друга аксіома визначає правило додавання векторів, яке містить у собі правило трикутника для складання геометричних векторів.

Д3. Зауваження. Існує розбіжність у використанні словосполучення "афінний простір": деякі автори ототожнюють його зі словосполученням "лінійний простір скінченої вимірності", інші вважають, що елементами афінного простору є не лише точки, а й відкладені від них вектори.

Д4. Наслідок. З другої аксіоми випливає, що тому вектор, що відповідає парі двох однакових точок, є нульовим вектором

Д5. Наслідок. З другої аксіоми випливає, що

Д6. Наслідок. Для рівність справджується тоді і лише тоді, коли

Цей наслідок відповідає згаданому вище означенню рівності вільних геометричних векторів: рівними є ті й лише ті вектори, які перетворюються один на другий паралельним перенесенням у просторі (рис. 20).

Рис. 20

Д7. Наслідок. Лінійний векторний простір з елементами x, y,... породжує афінний простір, упорядкованим парам точок якого відповідають вектори

Це твердження інтуїтивно означає наступне: елементи лінійного простору x, y можна інтерпретувати як вільні вектори, які після зведення до спільного початку стають радіус-векторами[19] певних точок (й утворюють афінний простір); вектори що поєднують будь-які дві точки, є різницями радіус-векторів цих точок.

Д8. Означення. Афінний простір G_n називають точковим простором Евкліда E_n, якщо відповідний векторний простір є простором Евкліда _n.

Д9. Означення. Відстанню між точками A і B точкового простору Евкліда Е_n називають довжину (модуль) вектора

Д10. Зауваження. Геометричний простір з обраною в ньому одиницею виміру довжини є тривимірним точковим простором Евкліда.

Д11. Означення. Декартовою системою координат у точковому просторі Евкліда Е_n називають сукупність обраної в ньому початкової точки О та базису у векторному просторі _n.

Д12. Означення. Радіус-вектором точки A простору Е_n називають вектор

Д13. Означення. Декартовими координатами точки A простору Е_n у системі координат О, називають координати її радіус-вектора

Д14. Зауваження. Координати радіус-вектора подають у вигляді матриці-рядочка (координатного рядочка) або матриці-стовпчика (координатного стовпчика).

Д15. Властивість. Якщо в просторі Е_n обрано певну декартову систему координат, то існує взаємно однозначна відповідність між точками простору та координатними рядочками (стовпчиками).

Д16. Властивість. Координатний рядочок (стовпчик) вектора дорівнює різниці координатних рядочків (стовпчиків) радіус-векторів і

Д17. Зауваження. Декартову систему координат у просторі Е_n, породжену ортонормованим базисом, називають прямокутною.

Розглянемо поняття криволінійних координат для випадку тривимірного точкового простору Евкліда. (Узагальнення розгляду на випадок n-вимірного простору може бути проведене в разі потреби без залучення принципово нових уявлень). З огляду на довідковий характер цього розділу, деякі твердження подамо без повного доведення.

Будемо вважати, що в певній області тривимірного точкового простору Евкліда обрана прямокутна декартова система координат. Координатний рядочок точки в обраній прямокутній системі запишемо у вигляді

Д18. Означення. В області задано криволінійна систему координат, якщо кожній точці області поставлено у відповідність трійку дійсних чисел які є неперервними функціями прямокутних координат,

(Д.1)

причому якобіан існує й не дорівнює нулю.

Д19. Зауваження. Поставлені до функцій (Д.1) вимоги забезпечують взаємно однозначну відповідність між криволінійними та декартовими координатами, а отже і взаємно однозначну відповідність між криволінійними координатами і точками простору.

Д20. Зауваження. Криволінійна система координат буде декартовою (хоча, взагалі кажучи, і не прямокутною) тоді і лише тоді, коли всі функції (Д.1) лінійні за кожним з аргументів.

Д21. Означення. Поверхню, на якій називають координатною поверхнею, відповідною до координати

Д22.

 Якщо припустити обернене, то на лінії перетину координатних поверхонь та функція набуватиме двох різних значень ( та ), тобто не буде однозначною.

Д23. Означення. Лінію перетину координатних поверхонь та відповідних до двох різних координат, називають координатною лінією відповідною до третьої координати

Д24. Зауваження. Крізь будь-яку точку області можна провести три різні координатні поверхні та три різні координатні лінії.