§ 34. Добутки векторів у тривимірному просторі Евкліда
Усі тривимірні простори є ізоморфними (у перекладі з грецької – подібними за будовою), тому виникає цілком природне бажання – поширити уявлення про векторний добуток векторів з випадку геометричного простору на тривимірні простори Евкліда довільної природи.
Щоб уможливити таке поширення, слід зробити лише один принциповий крок – ввести поняття орієнтованої трійки векторів у просторі, який не є геометричним. Наступні кроки логічно випливатимуть із цього першого. І дійсно ж, у негеометричному просторі не можна вдатися до "правила годинникової стрілки", оскільки важко уявити собі, наприклад, годинник у просторі поліномів степеня не вищого за третій. Тому зробимо наступне: а) скористаємося з того, що в просторі Евкліда 3 існує ортонормований базис
(теорема 3.31); б) припишемо трійці ортів 
(а отже, і самому базисові) праву орієнтацію; в) поширимо на негеометричні простори Евкліда твердження, сформульовані в зауваженні 4.2, тобто постулюємо, що орієнтованість базису змінюється на протилежну при переставленні двох ортів між собою та при інверсії напрямку одного з них (тоді при циклічному переставленні ортів орієнтованість базису не змінюється); г) зважимо на те, що вираз (4.7) встановлює взаємно-однозначну відповідність між векторними добутками геометричних векторів та їх координатами у правому базисі; д) пригадаємо, що орієнтованість трійки геометричних векторів легко визначається знаком їх мішаного добутку (властивість 4.15), тобто знаком детермінанта у виразі (4.8); е) поширимо вирази (4.7) та (4.8) на випадок негеометричних просторів. Отже, почнемо виконувати накреслену програму.
Розглянемо розклади векторів
по ортах правого ортонормованого базису[15]: 
4.25. Означення. Векторним добутком векторів х та у у тривимірному просторі Евкліда 3 називають вектор 
що визначається за координатами векторів-співмножників у правому ортонормованому базисі згідно з формулою
(4.12)
4.26. Означення. Мішаним добутком векторів х, у та z у просторі 3 називають скаляр 
що визначається формулою
(4.13)
4.27. Зауваження. Означення 4.25 та 4.26 застосовні і в окремому випадку геометричних векторів.
У наступному параграфі доведемо, що означений мішаний добуток не змінюється при зміні базису, в якому розкладені вектори-співмножники. Інакше кажучи, мішаний добуток є інваріантом, тобто скаляром.
4.28. Означення. Трійку векторів 
називають правоорієнтованою (правою) якщо 
і лівоорієнтованою (лівою) – якщо 
4.29. Зауваження. Для векторів, про які йдеться в попередньому означенні, 
Це значить, що рядки детермінанта (4.13) лінійно незалежні, тому лінійно незалежні й вектори х, у та z. · Властивості векторного добутку двох векторів простору 
Унаслідок означення (4.12) основні властивості векторного добутку в просторі 3 безпосередньо випливають із властивостей координат векторів, матриць та їх визначників.
Тому, ці властивості можна подати без спеціального доведення.4.30. Властивість. Векторний добуток є антикомутативним, тобто
4.31. Властивість. Векторний добуток є дистрибутивним, тобто
4.32. Властивість. Векторний добуток є асоціативним відносно скаляра, тобто 
4.33. Властивість. 
тоді й лише тоді, коли вектори x та y лінійно залежні.
4.34. Зауваження. Властивості 4.30 – 4.33 притаманні й геометричним векторам, оскільки колінеарні вектори є лінійно залежними, і навпаки. · Властивості мішаного добутку двох векторів простор
Перелічимо основні властивості мішаного добутку, що випливають з означення (4.13).
4.35. Властивість. 
4.36. Властивість. Мішаний добуток є дистрибутивним, тобто
4.37. Властивість. Мішаний добуток є асоціативним відносно скаляра, тобто 
4.38. Властивість. 
тоді й лише тоді, коли вектори-співмножники утворюють лінійно залежну систему.
Зазначимо, що вектори базису 
та взаємного до нього базису 
пов'язані між собою такими співвідношеннями:
а також
Дійсно, з поданих співвідношень миттєво одержуємо рівності 
які є означенням взаємних базисів (порівняй з (3.11)).
4.39.
Зауваження. Властивості 4.35 – 4.38 притаманні, як і має бути, геометричним векторам, оскільки компланарні вектори є лінійно залежними, і навпаки. · Перехід від одного орієнтованого базису до іншогоЯк видно з першого розділу цього курсу, перехід від базису до базису 
характеризується матрицею переходу T з елементами 
і здійснюється за допомогою формули 
або еквівалентного до неї матричного співвідношення (3.6). Елементи матриці переходу є координатами векторів 
у базисі (властивість 2.56).
4.40. Властивість. Визначник матриці переходу між двома орієнтованими базисами є додатним, коли орієнтованість обох базисів однакова, і від'ємним, коли базиси мають різну орієнтацію.
Спочатку доведемо дане твердження для випадку, коли базис – правий ортонормований. У такому разі він є тим базисом, про який йдеться в означенні 4.25, тому згідно з (4.13),
Якщо базис орієнтований однаково з , тобто також правий, 
а отже, 
Якщо орієнтація базисів та різна, то – лівий, а тому 
що й доводить твердження теореми.
Нехай тепер вихідний базис є правим, але не є ортонормованим. Перейдемо від цього базису до допоміжного правого ортонормованого базису 
Цей перехід характеризується матрицею 
, причому вже доведено, що 
а тому 
Тепер здійснімо перехід від правого ортонормованого базису 
до базису за допомогою відповідної матриці 
. Уже доведено, що 
коли – правий, і 
коли він лівий. Визначник матриці переходу від до дорівнює 
і його знак збігається зі знаком 
тобто 
коли – правий і 
коли він лівий, що й доводить теорему.
Доведення теореми для лівого вихідного базису цілком подібне до попереднього, з тією відмінністю, що визначник переходу до допоміжного базису – від'ємний. Читачеві може бути корисним провести це доведення самотужки.