§ 6. Елементарні перетворення як множення матриць. Детермінант добутку.

1.72. Теорема. Кожне елементарне перетворення стрічок матриці А розмірів рівносильно множенню матриці А зліва на деяку квадратну матрицю порядку m.

Розглянемо квадратну матрицю , яка отримується з одиничної матриці порядку перестановкою і-ої та j–ої стрічок. Очевидно, що при множенні матриці розмірів зліва на відповідні стрічки матриці А переставляться.

Нехай – матриця, яка отримується з тієї ж одиничної матриці заміною і-ої одиниці на діагоналі на число . При множенні матриці А зліва на і-а стрічка матриці А помножиться на .

Позначимо через матрицю, яка отримується з одиничної матриці заміною на одиницю нульового елемента, розташованого на перетині і-ої стрічки та j–го стовпчика.

Множення матриці А зліва на матрицю рівносильно додаванню j–ої стрічки матриці А до і-ої стрічки. Зауважимо, що , i відмінні від нуля: , , . Матриці , і називають матрицями елементарних перетворень. Якщо матриця А квадратна, то , , отже в цьому випадку для матриць елементарних перетворень справедливо .

Послідовному виконанню елементарних перетворень стрічок матриці відповідає множення зліва на добуток відповідних матриць елементарних перетворень. Елементарні перетворення стовпчиків можемо довести, домножаючи матрицю А справа на аналогічні матриці.

1.73. Припущення. Якщо , то знайдуться матриці елементарних перетворень такі, що .

Якщо , то існує. Так як , то елементарними перетвореннями стрічок матриця може бути перетворена в одиничну матрицю, тобто знайдуться такі , для яких . Очевидно, що .