§ 3. Методи обчислення детермінантів матриць.

1.43. Означення. Елементарними перетвореннями матриці називаються наступні перетворення:

1. Множення стрічки на число, відмінне від нуля.

2. Додавання до однієї стрічки іншої стрічки цієї ж матриці.

3. Перестановка стрічок матриці.

4 – 6. Ті ж перетворення стовпчиків матриці.

З властивостей визначників слідує, що детермінант матриці не зміниться, якщо до якої-небудь стрічки (стовпчика) добавити лінійну комбінацію інших стрічок (стовпчиків) цієї матриці, що дає можливість знаходити визначник таким чином:

· Метод приведення до трикутного вигляду.

Суть методу – в приведенні за допомогою елементартих перетворень визначника до такого вигляду, коли всі елементи, що знаходяться по одну сторону однієї з діагоналей, дорівнюють нулю. Якщо в першому стовпчику є ненульові елементи , то беремо любий з них – нехай це буде a_k1, і до всіх стрічок, крім k-ої, добавимо k-ту стрічку, помножену на , де – перший елемент стрічки, до якої додають k-у стрічку. Таким способом матриця буде приведена до вигляду, коли всі елементи крім одного в першлму стовпчику дорівнюють нулеві, отже , де – додатковий мінор елемента в перетвореній матриці. Для обчислення застосуємо той же спосіб і через крок визначник буде знайдено.

1.44. Приклад. Знайдемо

.

Перший крок. Віднімемо першу стрічку від усіх інших

Другий крок. З першого стовпчика виносимо з другого , з третього – , і т. д.

Третій крок. До першого стовпчика додаємо всі інші стовпчики

Четвертий крок. Розкриваємо визначник за першим стовпчиком і отримуємо кінцевий результат

. · Метод рекурентних співвідношень.

Метод заключається в тому, що даний визначник обчислюють, перетворюючи і розкладаючи його за стрічкою або стовпчиком, через визначники того ж вигляду, але більш низького порядку. Отримане співвідношення називається рекурентним.

Розглянемо випадок, коли рекурентне співвідношення має вигляд , , і q – незалежні від n величини. Якщо , то , де – визначник 1-го порядку даного вигляду. Нехай , α і β – корні квадратного рівняння , тоді , отже

.

Аналогічно

.

Таким чином

Розглянемо два випадки.

Випадок 1. тоді маємо ,

, тому , звідки

.

Випадок 2. . В цьому випадку маємо:

і так далі по аналогії

1.45. Приклад.

Розкладемо за елементами 1-го стовпчика:

Наступний крок – розкладемо визначник за 1-ою стрічкою і отримуємо: , отже на основі отриманих раніше співвідношень обчислення даного визначника зводиться до пошуку корнів рівняння .

Часто при обчисленні визначників зручно комбінувати обидва вищевказані методи. Як приклад, розглянемо обчислення визначника Вондермонда.

1.46. Приклад.

Віднімемо від останньої стрічки передостанню стрічку, помножену на і отримаємо:

Після чого віднімемо від передостанньої стрічки третю знизу стрічку, домножену на , і т.

=

= розкриваємо за 1-им стовпчиком =

==

Розкриваючи визначник аналогічно, знаходимо: , отже

· Метод представлення визначника у вигляді суми визначників

Деякі визначники легко обчислюються шляхом розкладу їх в суму визначників того ж порядку відносно стрічок (або стовпчиків).

1.47. Приклад.

Розкладемо відносно першої стрічки:

Кожен з визначників розкладаємо відносно другої стрічки:

= 0 + 0 + 0 + 0 так як в першому визначнику є дві пропорційні стрічки (), тому він дорівнює 0, четвертий визначник дорівнює 0 (очевидно), а другий і третій визначники зводяться до визначників типу 1 (з пропорційними стрічками) або типу 4. Отже, якщо → n > 2, то . Для випадків і маємо

· Метод заміни елементів визначника.

Нехай . Знайдемо

Очевидно, що складові, які утримують більше однієї стрічки елементів, рівних х, дорівнюють нулю. Складові, які утримують одну стрічку елементів, рівних х, розкладем за цією стрічкою:

,

де – алгебраїчні доповнення елементів визначника.

.

1.48. Приклад. Знайдемо

.

Віднімемо від усіх елементів визначника число х, тоді

Оскільки всі недіагональні алгебраїчні доповнення дорівнюють нулю, тому вклад дають лише діагональні:

В завершення доведемо так звану формулу повного розкладу визначника

де сума береться по всіх перестановках чисел 1, 2, ..., n, а є число порушень порядку в даній перестановці. Для випадку маємо

Вважаємо, що дане співвідношення є вірним для матриць порядку . Тоді розкладаючи визначник за 1-ою стрічкою, отримаємо

Враховуючи що – визначник матриці порядку , отриманий з матриці шляхом викреслювання першої стрічки і k-го стовпчика і, що в перестановці число k порушує порядок раз, можна стверджувати, що а також те, що парність співпадає з парністю маємо: