5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А:
после 
преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р:
,
то есть 
, где 
– неособенная матрица.
.
Вначале нужно строку 
привести в строку 
. Предполагая, что 
, разделим все элементы 
– го столбца матрицы А на 
. Тогда её 
-ая строка примет вид
.
Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа 
, из всех остальных ее столбцов.
В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0.
Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу
,
где 
при 
.
. (1')
Эти операции равносильны умножению справа матрицы 
на матрицу А.
, (2)
где 
при 
,
при 
. (2')
Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на 
слева: 
.
Очевидно, обратная матрица имеет вид
.
Обозначим 
, то есть
,
где 
(3)
при 
, (3')
то есть полученная матрица С подобна матрице А.
Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса.
,
если все промежуточных преобразований возможны.
Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу:
.
Решение. Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы 
данной матрицы и контрольные суммы 
в 
.
. В строке I записываем элементы третьей строки матрицы 
, вычисляемые по формулам (1), (1'): 
, 
,
, 
.
Сюда же помещаем элемент 
. Число -3,375 должно совпасть с элементами строки I , не входящими в контрольный столбец (после замены элемента 
на -1).
В строках 5–8 в графе 
выписываем третью строку матрицы , которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы 
, вычисляемые по формулам (2), (2'):
Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на 
. Например,
Таблица 4
| Номер строки |  | Столбцы матрицы | Σ | Σ/ | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
| 1 | 1 | 3 | 2 | 4 | 10 | ||
| 2 | 5 | 9 | 4 | 1 | 19 | ||
| 3 | 7 | 3 | 2 | 6 | 18 | ||
| 4
|
| 8 | 7 |  8 | 4 | 27 | |
| I | 
| -1 | -0,875 |
-1 | -0,5 | -3,375 | |
| 5 | 8 | -1 | 1,25 | 0,25 | 3 | 3,5 | 3,25 |
| 6 | 7
| 1 | 5,5 | 0,5 | -1 | 6,0 | 5,5 11,25 |
 7 | 8 | 5 | 1,25 | 0,25 | 5 |  11,5 | |
| 8 | 4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 7/ | 39 |  58,5
| 11,5 | 57 | 166 | ||
| II | 
| -0,67 | 0,017 -1 | -0,127 | -0,97 | -2,83 | |
| 9 | 39 | -1,8333 | 0,021 | 0,004 | 1,782 | -0,026 | -0,047 |
 10 | 58,5 | -2,666 | 0,094 | -0,5811 | -6,3589 | -9,512 | -9,606 |
| 11 | 11,5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 12 | 57 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 10/ |
|  -227,4597 | 17,818 | 23,16165 | -302,4 | -488,966 | |
| III | 
| 0,0044 1 | 0,0783 | 0,1 | -1,3298 | -2,14 | |
 13
| -227,45 | 0,008 | -0,1226 | -0,1827 | 4,22 | 3,9228 | 3,91148 |
| 17,818 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 23,16165 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| -302,497 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
 | 16 | 51 | -261 | -960 | |||
0,125 
Соответственно, последняя строка матрицы В имеет вид (0 0 1 0). Для контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами:
Полученные результаты записываем в столбце Σ/ .
Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы: 
для строк 5–8 (столбец Σ) .
Преобразование 
, произведенное над матрицей В и дающее матрицу 
, изменяет лишь третью строку матрицы В, то есть седьмую строку таблицы. Элементы строки 
получаются по формулам (3), (
) . Например:
.
Те же преобразования проводим над столбцом Σ:
.
В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, 
, 8 с контрольными суммами Σ. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент 
, продолжим процесс аналогичным образом.
Таким образом, матрица Фробениуса имеет вид
Отсюда, решая уравнение 
, найдем собственные значения исходной матрицы.