6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. МЕТОД СИМПСОНА (МЕТОД ПАРАБОЛ)

Заменим график функции на отрезке , , , параболой, проведенной через точки , , где – середина отрезка .

,

где .

Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим

.

Суммируя полученные выражение по , получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

.

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка .

.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. , то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины рассматривать отрезок длины . Тогда формула Симпсона примет вид: , а вместо последней оцен­ки будет справедлива следующая оценка погрешности:

.