<<
>>

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах .

Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

.

Аналогично составляются разности k-го порядка:

.

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

.

Используя конечные разности, можно определить

.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

.

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

.

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

.

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем , то есть использовать эту формулу для всех .

Для других случаев вместо принять , если при . В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции , причем . Из-за этого при больших значениях мы не можем вычислить высших порядков .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

.

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей

х 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
у 0 0,1002 0,2013 0,8045 0,4108 0,5211


Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

х у
0 0
0,1002
0,1 0,1002 0,0009
0,1011 0,0012
0,2 0,2013 0,0021 -0,0002
0,1032 0,0010 0,0001
0,3 0,3045 0,0031 -0,0001
0,1063 0,0009
0,4 0,4108 0,0040
0,1103
0,5 0,5211

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и

Пример. Задана таблица. Найти .

х
0,2588
0,0832
0,3420 -0,026
0,0806 0,0006
0,4226 -0,032
0,0774 0,0006
0,5 0,038
0,0736
0,5736


При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

где и

где .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

,

где

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

.

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем

,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х у
50 1,6990
0,0414
55 1,7404 -0,0036
0,0378 0,0005
60 1,7782 -0,0031
0,0347
65 1,8129

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

<< | >>
Источник: Котюргина, А.С.. Численные методы: учеб. пособие / А. С. Котюргина. – Омск: Изд-во ОмГТУ,2010. – 84 с.. 2010

Еще по теме Многочлен Ньютона с конечными разностями:

  1. § 18. Неопределённые выражения
  2. Содержание дисциплины
  3. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  4. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  5. 1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
  6. 1.2.2. Интерполяционные многочлены
  7. 1.2.3. Численное дифференцирование
  8. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  9. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  10. 4.3. Блок текущего контроля
  11. Многочлен Ньютона с конечными разностями
  12. 4. Некоторые явные конечно-разностные формулы.