5. Метод Ньютона-Канторовича
Описание итерационного процесса Ньютона. И.Ньютон предложил эффективный метод вычисления решений уравнения
F(U)= 0 (15)
для случая функции F(u) с вещественными значениями, зависящей от вещественной переменной и.
Впоследствии метод Ньютона был перенесен на системы уравнений (когда F(u) Є Rm), а затем обобщен в работах JI. В. Канторовича на уравнения в банаховых пространствах.Пусть F(u) — нелинейный оператор, определенный в окрестности 5 решения и" уравнения (15) и непрерывно дифференцируемый в 5 в смысле Фреше. Пусть, далее, в 5 оператор F'(u) непрерывно обратим. Итерационный процесс Ньютона состоит в следующем. Выбирается начальное приближение мо € 5, лежащее достаточно близко к и" . Дальнейшие приближения и,„ п — 1,2,..., предлагается вычислять по формуле
Un = мн—і [F'(k,i_] )] ~' F(m„_ і), «=1,2,... (16)
Метод Ньютона является в настоящее время одним из наиболее употребительных вычислительных методов. Главное его достоинство — это (в определенных предположениях) очень быстрая сходимость последовательных приближений (16) к решению и*. Метод применим также и в случае, когда уравнение (15) имеет несколько решений.
Пусть м, F(u) є R"1. Если f,{xi,... ,хт), i= l,...,n, — координатные функции F(m), то уравнение (15) является краткой записью системы урав-нений /,(хі,... ,хт) = 0, і = 1,...,т. Производная F'(u) = (^gj^) [ —
это матрица Якоби, a [F'(m)]_1 — обратная матрица. Формулы (16) пред-ставляют собой, таким образом, матричную запись итерационного процес-са Ньютона в Rm.
Сходимость итерационного процесса Ньютона. Приведем один из наиболее удобных в приложениях вариантов теоремы о методе Ньютона. Существование решения и* здесь не предполагается, а доказывается. Вопрос о единственности решения в рассматриваемом шаре здесь не обсуждается.
Теорема 21. Пусть в шаре Sr(uo) оператор F(u) дифференцируем, и его производная удовлетворяет в этом шаре условию Липшица с постоянной I. Пусть в Sr(uo) оператор F'(u) непрерывно обратим и существует постоянная т>0 такая, что в Sr(uo)
||[F'(M)]_1|I <т- (17)
Пусть также ||/г(гго)|| < Л- Тогда если q = т21ц/2 < 1 и
г' = тЦ^Я2к-1 <г, (18)
*=о
то уравнение F(u) — О имеет решение и* Є S^(mo), К которому сходится итерационный процесс Ньютона, начатый с ио- Скорость сходимости и„ к и* дается неравенством k
||и„-и*||<тгі 4
і-ч2"'
5.3.
Модифицированный метод Ньютона. Рассмотрим видоизменение, или, как говорят, модификацию итерационного метода Ньютона:«„+, =«(,-[/="ы]"1/7ы, л =1,2,... (19)
Преимущество формул (19) заключается в том, что упрощаются вычисления (обратный оператор вычисляется только один раз). Недостаток формул (19), как увидим ниже, состоит в том, что ухудшается по сравнению с итерационным методом Ньютона скорость сходимости.
Теорема 22. Пусть в шаре Sr(uo) оператор F(и) дифференцируем, и его производная удовлетворяет в Sr(uo) условию Липшица с постоянной I. Пусть F'(uo) непрерывно обратим и ||[F'(«o)]-11| < т. Пусть, кроме того, ||F(mo)I| < л- Тогда если 2тг1г\ < 1 и
г = — < г, (20)
то уравнение F(u) = 0 имеет решение и' ? S/(uo), к которому сходится модифицированный итерационный процесс Ньютона (19), начатый с UQ. Скорость сходимости ип к и* дается неравенством
.„^ (1-0-2тЧц)"
\\ип-и || < —/ит).
V 1 — 2т21г\
В условиях теорем 21,22 метод Ньютона или его модификацию можно использовать для приближенного решения нелинейного уравнения F(u) = = 0. Остановим процесс (16) при п = N и назовем и^ N-ы приближением к точному решению и*. Согласно теореме 21, для любого є > 0
существует номер N ^например, любое N, удовлетворяющее неравенству а2"'1 \
тП —5* < Е) такой, что ||м/У — м*|| < є. Это означает, что, используя 1 -q >
итерационный процесс (16), мы можем приблизиться к точному решению нелинейной задачи F(u) = 0 с любой наперед заданной точностью.