<<
>>

3.2.3 Метод Ньютона (касательных).

Постановка задачи.

Дано нелинейное уравнение (3.1) f(x)=0. Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Метод основан на стратегии постепенного уточнения корня.

Формулу уточнения можно получить из геометрической иллюстрации идеи метода.

Рис. 3.12. Геометрическая иллюстрация метода Ньютона.

На отрезке существования корня выбирается начальное приближение x0. К кривой f(x) в точке А с координатами (x0, f(x0)) проводится касательная. Абсцисса x1 точки пересечения этой касательной с осью ОХ является новым приближением корня.

Из рисунка следует, что x1 = x0 − CB

Из ∆ABC: CD=. Но .

Следовательно,

Аналогично, для i-го приближения можно записать формулу итерационного процесса метода Ньютона:

, где x0 Î [a;b]. (3.13)

Условие окончания расчета: , (3.14)

где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

(3.15)

Если на отрезке существования корня знаки и не изменяются, то начальное приближение, обеспечивающее сходимость, нужно выбрать из условия

, x0Î[a;b]. (3.16)

т.е. в точке начального приближения знаки функций и ее второй производной должны совпадать.

Рис. 3.13. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) вогнутый, , тогда x0=b, т.к. f(b)>0.

Если же выбрать x0=a, то итерационный процесс будет сходиться медленнее или даже расходиться (см. касательную для x0=a).

Рис. 3.14. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) выпуклый, f ’’(x)

<< | >>
Источник: Мухамадеев И.Г.. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. КУРС ЛЕКЦИЙ. 2007

Еще по теме 3.2.3 Метод Ньютона (касательных).:

  1. Словарь ключевых терминов
  2. 2.4. Основные параметры денежных потоков
  3. 1. Постановка задачи исследования Марксом
  4. Примечание 1 Определенность понятия математического бесконечного
  5. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.
  6. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  7. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  8. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  9. ГЛОССАРИЙ
  10. 5. Метод Ньютона-Канторовича
  11. 1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
  12. 1.6. Видоизменённый метод Ньютона