3.2.3 Метод Ньютона (касательных).

Постановка задачи.

Дано нелинейное уравнение (3.1) f(x)=0. Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Метод основан на стратегии постепенного уточнения корня.

Рис. 3.12. Геометрическая иллюстрация метода Ньютона.

На отрезке существования корня выбирается начальное приближение x0. К кривой f(x) в точке А с координатами (x0, f(x0)) проводится касательная. Абсцисса x1 точки пересечения этой касательной с осью ОХ является новым приближением корня.

Из рисунка следует, что x1 = x0 − CB

Из ∆ABC: CD=. Но .

Следовательно,

Аналогично, для i-го приближения можно записать формулу итерационного процесса метода Ньютона:

, где x0 Î [a;b]. (3.13)

Условие окончания расчета: , (3.14)

где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

(3.15)

Если на отрезке существования корня знаки и не изменяются, то начальное приближение, обеспечивающее сходимость, нужно выбрать из условия

, x0Î[a;b]. (3.16)

т.е. в точке начального приближения знаки функций и ее второй производной должны совпадать.

Рис. 3.13. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) вогнутый, , тогда x0=b, т.к. f(b)>0.

Если же выбрать x0=a, то итерационный процесс будет сходиться медленнее или даже расходиться (см. касательную для x0=a).

●

Рис. 3.14. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) выпуклый, f ’’(x)