<<
>>

Метод простых итераций (метод последовательных приближений).

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

x1=φ(x0)

x2=φ(x1)

………..

xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула - формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется бесконечный итерационный процесс.

Можно получить приближенное решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

где ε - заданная точность; i - номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис.

3.7 Итерационный процесс для случая 0 x = φ(x)

не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы сходящегося итерационного процесса.

Пусть .

Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде

Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу l вычислить по формуле:

(3.11)

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

xi = xi+1− λ f(x) (3.12)

где i=1,2,… - номер итерации, x0Î[a,b] – начальное приближение.

Пример 3.2.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.

Из уравнения выразим явно x:

Проверим условия сходимости для полученной формулы:

, ,

для x Î (0;1].

Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т.е.

Следовательно .

Формула сходящегося итерационного процесса

Уточним корень с помощью данной формулы.

Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).

Вычислим первое приближение

Проверим условие завершения итерационного процесса

Расчет следует продолжить.

x3 = 0,458216

x4 = 0,455688

x5 = 0,454488

x6 = 0,453917 − ответ, т.к.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:

Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.

<< | >>
Источник: Мухамадеев И.Г.. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. КУРС ЛЕКЦИЙ. 2007

Еще по теме Метод простых итераций (метод последовательных приближений).:

  1. 1.1 Общее описание проблемы. Идентификация состояния процесса
  2. 1.3.2 Математическая формулировка задачи обработки навигационных измерений навигационного приемника при потере свойств целостности СРНС
  3. 4.3 Методика определении компонент ковариационных матриц навигационных решений
  4. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  5. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  6. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  7. Предисловие автора
  8. Управление материальными запасами при помощи системы канбан
  9. Лекция №4. Каскадные АСР
  10. 1.4. Метод простой итерации
  11. 1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
  12. 1.7. Метод хорд
  13. 2.2. Метод простой итерации
  14. Тема 1 Введение.
  15. Метод простых итераций (метод последовательных приближений).
  16. 5.2.1. Метод простых итераций.
  17. Обзор вычислительных методов, используемых при моделировании