Метод простых итераций (метод последовательных приближений).

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

x1=φ(x0)

x2=φ(x1)

………..

xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула - формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется бесконечный итерационный процесс.

Можно получить приближенное решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

где ε - заданная точность; i - номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис.

не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы сходящегося итерационного процесса.

Пусть .

Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде

Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу l вычислить по формуле:

(3.11)

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

xi = xi+1− λ f(x) (3.12)

где i=1,2,… - номер итерации, x0Î[a,b] – начальное приближение.

Пример 3.2.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.

Из уравнения выразим явно x:

Проверим условия сходимости для полученной формулы:

, ,

для x Î (0;1].

Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т.е.

Следовательно .

Формула сходящегося итерационного процесса

Уточним корень с помощью данной формулы.

Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).

Вычислим первое приближение

Проверим условие завершения итерационного процесса

Расчет следует продолжить.

x3 = 0,458216

x4 = 0,455688

x5 = 0,454488

x6 = 0,453917 − ответ, т.к.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:

Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.