<<
>>

5.2.1. Метод простых итераций.

Как и в случае одного уравнения, метод простых итераций заключается в замене исходной системы уравнений (5.1) эквивалентной системой

X=Φ(X) (5.3)

и построении итерационной последовательности

X(k) = Φ(X(k-1)) , где k=1,2,3,… - номер итерации, (5.4)

которая при k→∞ сходится к точному решению.

Здесь - итерирующая вектор-функция, X(0) D – начальное

приближение решения.

В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид:

xi.(k) = φi(x1(k-1), x2(k-1), … , xn(k-1)), . (5.5)

Условие окончания расчета

δ≤ε (5.6)

где ε - заданная точность решения;

δ = (5.7)

или

δ = (5.8)

Итерационный процесс (5.5) сходиться к точному решению, если в окрестности решения соблюдаются условия сходимости:

(5.9)

или

(5.10)

Таким образом, для уточнения решения СНУ методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование (5.1) в (5.3), чтобы в области существования решения выполнялись условия (5.9) или (5.10).

В простейшем случае эквивалентную систему можно получать как:

,

Можно выделить (не обязательно явно) все неизвестные из уравнений системы так, что:

,

Как и в случае одного уравнения задачу поиска эквивалентного преобразования можно свести к задаче определения (в простейшем случае подбора) значений констант li ≠ 0, , обеспечивающих сходимость

Рис.

5.1. Схема алгоритма метода простых итераций.

Рисунок 5.1. Схема алгоритма метода простых итераций
Сходимость метода простых итераций можно несколько улучшить, если при вычислении очередного приближения использовать уже найденные значения

Выражение для расчета очередного к-го приближения примет вид:

, ; (5.11)

Для реализации данного приема, аналогичного методу Гаусса-Зейделя для систем линейных уравнений, в алгоритм расчета следует внести изменения: формулу расчета очередного приближения (символ 5) записать как X=φ(x) или в развернутом виде:

,

Существуют и другие приемы улучшения сходимости метода простых итераций. Например, новое приближение вычислять как среднее арифметическое двух предшествующих приближений:

, (5.12)

Можно использовать поправку Эйткена для улучшения сходимости:

, (5.13)

Пример 5.2.

Методом простых итераций уточнить ранее (пример 5.1) отделенные решения системы уравнений:

x12+x22=1

ln x1+2x2= –1

Области существования решений:

,

Для получения эквивалентной системы из первого уравнения выразим x1

из второго уравнения x2

Определим частные производные:

Проверим условия сходимости в окрестности первого решения, взяв точку в центре области существования этого решения х1=0,1; х2=0,9.

Использовать полученную эквивалентную систему для уточнения первого решения нельзя, т.к. условия сходимости не соблюдаются.

Проверим условия сходимости для этой же эквивалентной системы в окрестности второго решения: х1=0,9; х2=-0,4.

Условия сходимости соблюдаются, следовательно полученную эквивалентную систему можно использовать для уточнения второго решения.

Выполним несколько итераций для уточнения 2-го решения:

Начальные значения k = 0 ; ;

Первая итерация k = 1 ;

Вторая итерация k = 2 ;

Третья итерация k = 3

Четвертая итерация k = 4

Итерационный процесс сходиться, для достижения требуемой точности нужно выполнить еще несколько итераций.

После 8-ой итерации х1=0,8956, х2=-0,4446, δ по формуле (5.7) равна 0,0005.

Рассмотрим использование приема Гаусса–Зейделя (5.11) для ускорения итерационного процесса.

Начальные значения k = 0, ; ;

Первая итерация k = 1 ;

Вторая итерация k = 2 ;

После 5 итерации получим следующие результаты: х1=0,8957, х2=-0,4449 δ=0,0006.

Для уточнения первого решения нужно найти другую формулу итерационного процесса.

Например, если из первого уравнения выразить х2, а из второго х1 получим:

Проверка условий сходимости в окрестности первого решения показывает, что приведенные формулы можно использовать для уточнения первого решения.

Для х(0)=(0,1;0,9)

<< | >>
Источник: Мухамадеев И.Г.. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. КУРС ЛЕКЦИЙ. 2007

Еще по теме 5.2.1. Метод простых итераций.:

  1. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
  2. Вопросы для самоконтроля
  3. 5. Границы, сфера действия диалектического метода
  4. Действительно, эвристика как своеобразная методология, т.е. совокупность методов творческой деятельности, выставляет определенные требования:
  5. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  6. Краткие теоретические сведения
  7. Предисловие автора
  8. Методи політико-психологічних досліджень.
  9. 3.7. Итерационные методы реконструкции
  10. 1.4. Метод простой итерации
  11. 1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
  12. 2.2. Метод простой итерации
  13. 2.3. Метод Зейделя
  14. ПРИЛОЖЕНИЕ