5.1. Отделение решений.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Задача отделения решений достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

f1(x1, x2) = 0

f2(x1, x2) = 0

Для этого необходимо в координатах (x1, x2) построить кривые

f1(x1,х2) = 0, f2(x1,х2) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы. Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

Рис. 5.1. Графическое отделение решений СНУ.

Для систем с большим числом неизвестных (n ? 3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.

Отделение решений позволяет:

1. Выявить число решений и область существования каждого из них.

2. Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

3. Выбрать начальное приближение решения X(0) из области его существования, так что X(0)ÎD.

При отсутствии информации об области существования решения СНУ выбор начального приближения X(0) проводиться методом проб и ошибок (методом “тыка”).

Пример 5.1. Отделить решения системы

x2 + y2=1

ln(x)+2y=-1

Запишем систему в стандартном виде (5.1).

Область определения функций

Очевидно, что решения могут быть только в общей области определения этих функций.

Решения существуют, т.к. D0 ≠ ?.

Для отделения решения нужно построить графики функций в общей области определения.

График первой функции – окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Для построения графика второй функции нужно вычислить значение в нескольких точках общей области определения D0:

- при x1 = +0 (очень маленькое положительное число) х2 = +¥.

- при x1 = (1/е) ≈ 0,33 .

- при x1 = 1

- при x1 = 0,5

Имеются два решения.

Область существования первого решения ,

второго решения

.

Точность отделения решений зависит от точности построения графиков.

5.2. Методы уточнения решений СНУ.

Уточнение интересующего решения до требуемой точности ε производится итерационными методами.

Основные методы уточнения решений СНУ получены путем обобщения итерационных процессов, используемых при решении одного нелинейного уравнения.