<<
>>

4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0. Прямая называется касательной к поверхности в точке М0(х0, у0, z0), если она является касательной к какой – либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку М0.

Если в точке М0 все три производные Fx`, Fy`, Fz` равны нулю или хотя бы одна из них не существует, то точка М0 называется особой точкой поверхности. Если в точке М0 все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М0 называется обыкновенной точкой поверхности. Можно показать, что все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в точке М0. (В особых точках поверхности касательная плоскость может не существовать).

Касательная плоскость перпендикулярна вектору и её уравнение имеет вид Fx`(x - x0) + Fy`(y - y0) + Fz`(z -z0) = 0 (4.7).

Если уравнение поверхности задано в виде z = f(х, y), то уравнение касательной плоскости примет вид: z - z0 = fx`(x - x0) + fy`(y - y0) (4.7`).

Прямая, проведенная через точку М0(х0, у0, z0) поверхности перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Ее направление определяется вектором `N и канонические уравнения примут вид:

(4.8),

а если уравнение поверхности задано в виде z = f(x, y), то

(4.8`).

Обсудим геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z = f(x, y) (F(x, y, z) = 0). Проведем через точку Р(х0, у0, z0) плоскость х = х0. В сечении ее поверхностью (рис. 4.1) получим линию. Если дать приращение Dy = MN = PТ` переменной у (при неизменном х), функция получит приращение Dyz = TT`. Очевидно, предел , где b – угол, образуемый касательной PВ к кривой PТ в точке Р0 с положительным направлением оси Оу. Аналогично, , где a – угол, образуемый касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью у = у0 с положительным направлением оси Ох. Если в (4.7') положим х –х0 =Dх, у – у0 = Dу, то оказывается, что правая часть ее – полный дифференциал функции z = f(x, y) и z – z0 = dz, т.е. полный дифференциал функции двух переменных в точке М(х, у), соответствующий приращениям Dх и Dу независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты z плоскости касательной к поверхности z = f(x, y).

Контрольные вопросы.

1) Какая точка называется особой точкой поверхности?

2) Какая плоскость называется касательной к поверхности в точке?

3) Что называется нормалью к поверхности?

4) В чём состоит геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z=f (x,y)?

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.:

  1. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  2.   2.1.2. Онтологические проблемы физики  
  3. Содержание часть 1
  4. 4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
  5. Вопросы для самопроверки.
  6. Содержание
  7. Содержание дисциплины
  8. О формулах Френе.
  9. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
  10. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
  11. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  12. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  13. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  14. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  15. § 4.4. ЛИНИИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. ПОТОК МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
  16. 4.ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ