4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0. Прямая называется касательной к поверхности в точке М0(х0, у0, z0), если она является касательной к какой – либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку М0.
Если в точке М0 все три производные Fx`, Fy`, Fz` равны нулю или хотя бы одна из них не существует, то точка М0 называется особой точкой поверхности. Если в точке М0 все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М0 называется обыкновенной точкой поверхности. Можно показать, что все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в точке М0. (В особых точках поверхности касательная плоскость может не существовать). Касательная плоскость перпендикулярна вектору 
и её уравнение имеет вид Fx`(x - x0) + Fy`(y - y0) + Fz`(z -z0) = 0 (4.7).
Если уравнение поверхности задано в виде z = f(х, y), то уравнение касательной плоскости примет вид: z - z0 = fx`(x - x0) + fy`(y - y0) (4.7`).
Прямая, проведенная через точку М0(х0, у0, z0) поверхности перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Ее направление определяется вектором `N и канонические уравнения примут вид:
(4.8),
а если уравнение поверхности задано в виде z = f(x, y), то
(4.8`).
Обсудим геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z = f(x, y) (F(x, y, z) = 0). Проведем через точку Р(х0, у0, z0) плоскость х = х0. В сечении ее поверхностью (рис. 4.1) получим линию. Если дать приращение Dy = MN = PТ` переменной у (при неизменном х), функция получит приращение Dyz = TT`. Очевидно, предел 
, где b – угол, образуемый касательной PВ к кривой PТ в точке Р0 с положительным направлением оси Оу. Аналогично, 
, где a – угол, образуемый касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью у = у0 с положительным направлением оси Ох. Если в (4.7') положим х –х0 =Dх, у – у0 = Dу, то оказывается, что правая часть ее – полный дифференциал функции z = f(x, y) и z – z0 = dz, т.е. полный дифференциал функции двух переменных в точке М(х, у), соответствующий приращениям Dх и Dу независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты z плоскости касательной к поверхности z = f(x, y).
Контрольные вопросы.
1) Какая точка называется особой точкой поверхности?
2) Какая плоскость называется касательной к поверхности в точке?
3) Что называется нормалью к поверхности?
4) В чём состоит геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z=f (x,y)?
Еще по теме 4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.:
- Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- Геометрический смысл дифференциала.
- Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
- 1.7. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.
- Физический и геометрический смысл производной.
- Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- Геометрический смысл матриц поворота
- 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.
- § 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
- 2.4. Применение теоремы Гаусса к вычислению напряжённости поля заряженной плоскости и двух параллельных плоскостей
- Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.
- Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
- 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.
- 3.2.3 Метод Ньютона (касательных).
- § 28. Уравнения касательной и нормали к графикуфункции