Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b).

,

где a – угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой– либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t– время, а f(t)– закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции– скорость изменения скорости, т.е. ускорение.