Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
нормаль
N
j N0
касательная плоскость
Пусть N и N0 – точки данной поверхности.
Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:
.
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке М(1, 1, 1).
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
Еще по теме Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.:
- 4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
- Геометрический смысл дифференциала.
- Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
- 1.7. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.
- Физический и геометрический смысл производной.
- Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- Геометрический смысл матриц поворота
- 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.
- § 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
- 2.4. Применение теоремы Гаусса к вычислению напряжённости поля заряженной плоскости и двух параллельных плоскостей
- Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.
- Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
- 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.
- 3.2.3 Метод Ньютона (касательных).
- § 28. Уравнения касательной и нормали к графикуфункции
- 2.5. Дифференциал функции
- Вывод уравнения кривой, описываемой вектором необыкновенной волны на выходной поверхности плоскопараллельного элемента из одноосного кристалла при вращении падающего под постоянным углом на входную поверхность луча вокруг нормали