<<
>>

1.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е. .

Предполагаем, что функция непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале . Положим . Проведем касательную к графику функции в точке (рис. 8).

Рис. 8

Уравнение касательной будет иметь вид: .

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив : .

Аналогично поступим с точкой , затем с точкой и т. д., в результате получим последовательность приближений , причем

. (6)

Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть – простой корень уравнения и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

, (7)

где .

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.

Выбор начального приближения. Пусть – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: (Здесь ).

Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:

.

(8)

Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

.

Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале . В этом интервале и . Так как и , то за начальное приближение можно принять .

-11 3453 -5183 0,6662
-10,3336 307,3 4276,8 0,0718
-10,2618 3,496 4185,9 0,0008
-10,261 0,1477 - -

. Поэтому .

<< | >>
Источник: Котюргина, А.С.. Численные методы: учеб. пособие / А. С. Котюргина. – Омск: Изд-во ОмГТУ,2010. – 84 с.. 2010

Еще по теме 1.5. Метод Ньютона (метод касательных):