6. Метод Галеркина-Петрова для нелинейных уравнений

Приближения и системы Галеркина. Пусть Е — сепарабель- ное нормированное пространство с базисом и F — отображение Е в Е*. Метод Галеркина приближенного решения уравнения F(u) = 0 заключается в следующем.

Приближением Галеркина решения уравнения F(u) = 0 называется вектор ип ? Е„, т.е. ^

(21)

*=i

удовлетворяющий системе уравнений

(*=1,2,..., л). (22)

*=1

Эта система, решение которой определяет приближение Галеркина к„, называется системой Галеркина. Отметим, что, несмотря на то, что система (22) совпадает с системой (13), вопрос о ее разрешимости решается здесь иначе. В четвертом разделе этой главы использовались свойства функционала /, а здесь при изучении системы (22) будут использованы свойства отображения F.

Связь с проекционными методами. Пусть Рп — оператор проектирования Е на Е„ и Р* — сопряженный оператор, который, как известно, проектирует Е* на л-мерное подпространство Е*. Проекционный метод приближенного решения уравнения F(u) = 0, где F — отображение Е в ?*, заключается в том, что данное уравнение заменяется уравнением в конечномерном пространстве

P;iF(Pnu)= 0, (23)

причем решение последнего уравнения называется приближенным ре-шением исходного уравнения. Покажем, что уравнение (23) эквивалентно системе (22). Действительно, если h — произвольный вектор из ?*, то уравнение (23) эквивалентно уравнению

О = {P*nF{Pnu), h) = (F(Pnu), Pnh) =

= (р (І «*ф*) , і Р.Ф») = і Р. {р (І я*ф*). ф»). 1=1 1=1 *=1

а это уравнение в силу произвольности (3, эквивалентно системе (22).

QaP(P„u) = О, (24)

решение которого рассматривается как приближенное решение исходного уравнения.

Если Ех — Еу — Н, где Н — гильбертово пространство, то проекционный метод называется методом Бубнова-Галеркина; в общем случае проекционный метод носит название метода Галеркина-Петрова.

В заключение этого пункта отметим, что в силу (24), если F — отображение Е в Е, то приближения Галеркина для уравнения F(u) = 0 найдутся из уравнения в конечномерном подпространстве

P„F{P„u) = 0. (25)

Разрешимость систем Галеркина. Пусть F: Е -> Е* — монотонный непрерывный оператор, где Е — вещественное сепарабельное нормированное пространство, удовлетворяющий на сфере ||u|| = г > 0 условию

(F(u),u)>0 (||u|| = г). (26)

В этих условиях можно показать разрешимость системы (22). В силу эквивалентности систем (22) и (23) достаточно показать, что уравнение (23) имеет решение. Положим Р„и = w € Е„- Тогда в силу моно-тонности F и конечномерности Е,„ On(iv) = P*F(W) есть непрерывное отображение Е„ в Е* — Р*Е*, т.е. непрерывное отображение л-мерного пространства в п-мерное. Отождествляя Еп и Е*, находим, что Ф„ — непрерывное отображение л-мерного пространства в себя. Далее, так как при IMI = Г

(Ф„Н, W> = (p:F(w), w) = (F(w), W) > 0,

то на сфере ІИІ = г будем иметь |j<С>„(w)11 > 0. Отсюда находим, что уравнение Фп(и') = 0 имеет решение, принадлежащее шару ||w|| < г.

Лемма 7.

Тогда система Галеркина (22) разрешима при любом п и приближения Галеркина и„ удовлетворяют неравенству ||м„|| < г.

Сходимость метода Галеркина-Петрова. Здесь будем предполагать, что и„ — приближения Галеркина решения уравнения F(u) = 0, где F — отображение нормированного пространства Е в Е'. В данном случае приближения ип находятся из системы (22) или из уравнения (23).

Лемма 8. Пусть приближения Галеркина и„, удовлетворяющие системам (22), существуют при любом п, причем ||м„|| < г. Тогда если F — ограниченный оператор, то последовательность (F(un)) сходится Е -слабо к нулю.

Пусть Е — сепарабельное нормированное пространство с базисом фьфг.фз,---; (Е„) — последовательность подпространств, рассмотренных в п. 6.1; (Р„) — последовательность проекторов (РпЕ = Еп) и (Р*) — последовательность сопряженных проекторов. Как было отмечено в п. 6.2, Р* проектирует Е* на п -мерное подпространство Е*.

Пусть h — произвольный вектор из Е*, hn = P*h и М") — h-h„. Го-ворят, что последовательность {?,*} предельно плотна в Е*, если для всякого h?E* М") -> 0 при /?->«>.

Лемма 9. Пусть приближения Галеркина ип, удовлетворяющие уравнениям (25), существуют при любом п и ||м„|| < г = const. Тогда если F: Е —> Е есть ограниченный оператор и последовательность (Е*) предельно плотна в Е*, то последовательность (F(un)) сходится слабо к нулю.

В дальнейшем используется следующее определение.

Определение 17. Отображение G: Е -> Е" называется равномерно монотонным, если (G(u) — G(v), и — v) > ||u - v||у(||м - v||), где ty(t) — возрастающая вещественная функция, обращающаяся в нуль в нуле.

Справедлива следующая теорема сходимости.

Теорема 23. Пусть Е — рефлексивное вещественное банахово пространство с базисом {ф*}, а непрерывный равномерно монотонный и ограниченный оператор F: Е -> Е* удовлетворяет неравенству (F(u), и) > 0, если ||u|| > г > 0.

Тогда приближения Галеркина и„ существуют при любом п и сходятся к единственному решению ио уравнения F(u) = 0.

В условиях теоремы 23 метод Галеркина-Петрова можно использовать для отыскания приближенного решения уравнения F(u) = 0. Назовем вектор и„ при п = N из (21) N-м приближением к точному решению ио¦ Согласно теореме 23 для любого є > 0 существует номер N такой, что

— "oil < Е- Таким образом, используя метод Галеркина-Петрова, мы можем найти приближенное решение идг с любой наперед заданной точностью.