7. Метод возмущений

Одним из мощных методов решения нелинейных задач математической физики является метод возмущений, или метод малого параметра. Мате-матическая теория возмущений была сформулирована в работах А.

7.1. Формулировка алгоритмов возмущений. Пусть X и У — гильбертовы пространства. Предполагается, что X вложено в Y плотно и непрерывно. Рассмотрим нелинейный оператор Ф(и, є), действующий из X в Y и зависящий от числового параметра є, где є Є [—є, є], є > 0. Об-ласть определения ?>(Ф) этого оператора предполагается линейным множеством, плотным в X. Пусть оператор Ф при любом фиксированном є имеет непрерывную производную Гато Ф'(и, є) = ЭФ/Эи в каждой точке и Є ?>(Ф), причем Ф' рассматривается как оператор из X в Y. Предполагается также, что область определения D(Ф') оператора Ф' содержит Л(Ф).

Рассмотрим уравнение

Ф(?/,є)=0, (27)

которое будем называть возмущенной задачей. Зафиксируем элемент С/о Є Є ?>(Ф), положим /(є) = -Ф(С/о, є) и перейдем от (27) к уравнению

А(«,ф = /(є), (28)

где

1

А (и, є) = f&(Uo + tu,e)dt, u = U-U0.

Оператор А (и, є) действует из X в Y с областью определения D(A) = = D(F). Сопряженный к нему оператор имеет вид

і

А* (и, є) = J(Ф'(и0 + т,г)У dt, и є D(F). о

Этот оператор является оператором из У* в X*; область его определения обозначим через D(A*). Оператор А* называется сопряженным оператором, соответствующим Ф(С/, є); он является одним из сопряженных операторов, которые можно вводить прн рассмотрении уравнения (27).

Далее наряду с (28) рассмотрим сопряженное уравнение

А*(и,е)и'=8(г), (29)

где элемент g(e) Є X* является аналитическим по є:

1 d'g

В дальнейшем будем предполагать, что оператор Ф(С/, є) аналитичен по всем своим переменным, и уравнение (28) имеет единственное решение, представляющееся в виде ряда по степеням є, сходящегося при |є| < є, є > 0: и = є'и,. В качшстве UQ выберем решение уравнения

Ф(С/0, 0) = 0,

которое будем называть невозмущенной задачей. Тогда «о = 0, и

оо

«=5>'м< (30)

i=i

является решением уравнения (28).

Алгоритм возмущений для решения задачи (28) состоит в последовательном отыскании поправок и, в разложении (29). Для нахождения вида уравнений для и, (і = 1,2,...) разложим /(є) в ряд по степеням па-раметра є:

/(є) = ?є'/, = ?є'/„ 1=0 1=1

где

Л = /(о) = о, =

/=1,2,...

Е=0

Iff

«! Л1

В частности,

г Л = -!•<«,,.)U Л-^-

(сїє и ЄСТЬ частные производные от Ф(U, г) по є при фиксированном U^ . Подставляя (30) в (28) и выполняя сокращение на є, получаем уравнение

є) (Іє'-Ч) = ?е'-7.. (31)

і=і і=і і=і

Отсюда при є = 0 получается уравнение для и і. Затем, дифференцируя последовательно уравнение (31) по є и полагая є = 0, получим бесконечную систему уравнений для определения и,

AQUI ¦ /ь AoU2 = f2~Al(Uo,Ui)ui,

1 (32)

Ло«з = /з ~A\{Uo, ui)u2 - -A2(U0, ui,u2)uu

где

Ло = Л(0,0) = Ф'(С/о,0),

ЛІ(^О,«і) = ^Л(?Є'И„Є)|?=о = J Ф"(?/О,ЇИІ,0)Л + ^Ф(?/О,0),

,= ї Л

?=0

d f °° Аг{ио, мі, м2) = A (Хє'и'> є)

Формулы (32) и составляют суть алгоритма возмущений для отыскания поправок и,.

і=і

Элемент вида

?V) = ?/o+l>4 і=0

называется приближением N-го порядка к U.

Аналогично формулируется алгоритм возмущений для решения сопряженного уравнения (29). В предположении, что и* = УРавнения для отыскания поправок и* (і = 1,2,...) будут иметь вид

(33)

А*0и*0 = 80, А'0 = (Ф'{ио,О)У, -і* ?=0 ?=0И'- 1 d2A*

dz1 ?=0

(34)

"о-

Решив первые N + 2 уравнений, можно найти приближение N-го порядка к и* по формуле

i=i

Алгоритмы возмущений вида (32), (34) называются в литературе алгоритмами регулярных возмущений, поскольку они предполагают наличие у решения задачи аналитической зависимости от параметра возмущения.

7.2. Обоснование алгоритмов возмущений. Пусть X, Y — гильбертовы пространства, введенные выше, а исходный оператор Ф(С/, є) зада-ется по формуле

Ф(С/, є) = AU + zF(U) - f,

где / Є Y, A : X -» Y — линейный замкнутый оператор с областью определения D(A), плотной в X, a F(U) — некоторый нелинейный оператор, действующий из X в Y с областью определения D(F) = D(A). Тогда воз-мущенная задача (27) принимает вид

AU + zF(U)=f. (35)

Невозмущенная задача получается из (35) при є = 0:

AU0 = f. (36)

Справедливо следующее утверждение. Теорема 26. Пусть:

оператор А непрерывно обратим и R(A) = У, т. е. для любого у Є S существует единственное решение х Є D(A) уравнения Ах — у такое, что

IWI* < colMly, Со = const >0;

оператор F удовлетворяет условию Липшица

||F(ii)-F(v)||y 0, Vm,v€D(F).

Тогда при условии |є| < Ё, где є = l/(cgk), возмущенная задача (35) имеет единственное решение U Є D(F).

Если, к тому же, F — аналитический оператор, то решение задачи (35) представляется в виде ряда

оо

U = Uо+ (37)

сходящегося при |є| < є, где функции и, могут быть вычислены с по-мощью алгоритма возмущений. Скорость сходимости алгоритма возмущений определяется формулой

Є N+1

||C/-C/(W)||X < с — , с = const > 0, |Б|<6О,

где U{N) — приближение N-го порядка из (33), Ео < Ё.

Эта теорема вытекает из хорошо известных результатов по нелинейному анализу; ее доказательство может быть получено, например, как следствие нижеследующей теоремы 25.

Условие 2) теоремы 24 является довольно жестким и редко выполняется на практике.

Теорема 2 5. Пусть:

оператор А непрерывно обратим и R(A) = У, т.е. для любого у Є У существует единственное решение х Є D(A) уравнения Ах = у такое, что

IWI* <со1М1у» со = const > 0;

для некоторого R> 0 оператор F удовлетворяет условию

- < Л||и - v\\X Уи, v є B(U0, R),

где B(UQ, R) — {и Є D(F) : ||и - Uo\\x < R}, Щ ~решение невозмущенной задачи (36)

Тогда при |є| < Ё, где? задача (35) имеет единственное решение U Є D(F), удовлетворяющее условию ||U — Щ\\х < R- Если, к тому же, F — аналитический оператор, то решение задачи (35) представляется в виде ряда

оо

с/= С/о+ !>'«» (38)

i=i

сходящегося при |є| < є, где функции и, могут быть вычислены с помощью алгоритма возмущений Скорость сходимости алгоритма возмущений определяется формулой

N+1

\U-U{N)\\xє Єо

где U{N) — приближение N-го порядка из (33), Ео < Ё.

Если постоянная к в условии 2) теоремы 25 не зависит от R и это условие выполнено ДЛЯ любого R, ТО (при переходе К пределу при R -Ї оо) теорема 25 превращается в теорему 24.

Используя доказательство теоремы 25, можно получить утверждение о разрешимости задачи (35) и при є = 1. Пусть F(0) = 0.

Теорема 2 6. Пусть:

выполнено условие 1) теоремы 25;

для любых R > 0 справедливо условие Липшица

- < *||и - v\\x Vu, V Є B(U0, R),

где B{U0,R) = {и Є D(F), ||м - Щ\\х 0;

при R — Hf/оІІА- выполнено неравенство сок < 1/2.

Тогда задача (35) при 6=1 имеет единственное решение U Є D(F), для которого справедлива оценка ||1/||х < с||/||к, с = const > 0.

с = const > О, |е| < Ео,

7.3. Связь с методом последовательных приближений. В условиях теорем 24, 25 для приближенного решения задачи (35) можно воспользоваться алгоритмом возмущений. Уравнения для отыскания поправок и, из (37), (38) имеют следующий вид:

AU0 = f, Am = -F(Uo), Аиг = -F'(U0)ui,

Аи, — /,_ і =/,_i(f/0,Mi,...,«,-i),

где правые части /,_ і зависят от производных оператора F в точке Uo до (/'— 1)-го порядка.

N+1

, |Б| < Ео < Є, (40)

где U^N) = Uo + Х,=і є'м' — приближение N-го порядка к точному решению U.

Рассмотрим одновременно метод последовательных приближений для решения задачи (35) в виде

AUN+l = -eF(C/w)+/ (41)

при начальном приближении U0 = Щ, где Uo — решение невозмущенной задачи (36). Как следует из доказательства теоремы 25, при |є| < є справедлива оценка скорости сходимости

= const > О,

причем К = сок < 1/Ео, где Ео — постоянная из (40). Из (40) следует, что UN и U(N) являются приближениями к U одного порядка O(|e/Eo|w+1). Кроме того, можно показать, что приближение UN представимо в виде

UN = U{N)+ ? e'C/,(N), (42)

i=N+l

где Un/) — приближение N-го порядка согласно алгоритму возмущений (39). В самом деле, как следует из доказательства теоремы 25, при фиксированном N функция UN из (41) аналитична по є при |є| < Ео и справедливо разложение в ряд UN = t'U^ с некоторыми Є D(F).

Подставляя эти разложения в (41), находим уравнения для ujN\ Сравнивая эти уравнения с уравнениями (39), последовательно устанавливаем,

что UQ^ = Uo, — мі, ..., uj^ = UN, так как совпадают соответствующие уравнения для и™ и и,. Тем самым убеждаемся в справедливости формулы (42). Отсюда следует

Теорема 2 7. Пусть выполнены условия теоремы 24 или 25 и рассматривается метод последовательных приближений (41) с начальным приближением (36) Тогда приближение U представимо в виде

UN = U{N)+ ? М»,

i=N+l

где U(N) ~ приближение N -го порядка алгоритма возмущений, и справедлива оценка

' Є

N+1

, с = const >0, Ео < є.

Єо

Отметим, что в некоторых случаях метод последовательных приближений может быть предпочтительнее для вычислений по сравнению с алгоритмом возмущений [116].