Глава 7Методы решения нелинейных уравнений

Ключевые слова: вариация функционала, дифференциал Гато, градиент функционала, выпуклый функционал, монотонный оператор, нелинейная краевая задача, критическая точка функционала, вариационный метод, метод Ритца, метод Ньютона-Канторовича, метод Галеркина-Петрова, метод возмущений.

Основные понятия и обозначения

Вариация функционала — предел

r-»0 t

где /(«) — нелинейный функционал, заданный на нормированном пространстве Е, и, he Е.

Дифференциал Гато — вариация Df(u, h) = V f(u, Л), если она линейна по h.

Производная Гато — отображение f(x) из представления Df(u,h) = = f{u)h.

Градиент функционала — производная Гато /(и), являющаяся линейным ограниченным функционалом.

Выпуклый функционал — вещественный дифференцируемый функционал /(и), для которого при всех и,ио выполняется неравенство

/(и) - /(ио) - Df{uo, и-ио)> 0.

Монотонный оператор — отображение F : Е Е*, для которого спра-ведливо неравенство (и - v, F(u) — F(v)) > 0, где Е — нормированное пространство, Е* — сопряженное к нему, а (•,•) — отношение двойствен-ности.

Полунепрерывный снизу функционал — вещественный функционал /(и), заданный в нормированном пространстве Е\ является полунепрерывным снизу в точке ио Є Е, если для любой последовательности и„ Є Е такой, что и„ ио, имеет место неравенство /(но) < lim,, f(u„).

Критическая точка функционала — точка ио, в которой дифференциал Гато обращается в нуль: D/(ho, h) = 0.

Вариационный метод — метод исследования нелинейных уравнений, который заключается в сведении нелинейного уравнения к задаче нахождения критических точек некоторого функционала.

Минимизирующая последовательность — последовательность и„, удовлетворяющая условию Иш„->«,/(и„) = d, где /(и) — функционал, a d = = inf/М-

Метод Ритца — метод отыскания минимума функционала путем построения приближений в виде линейных комбинаций специальных базисных функций.

Метод Ньютона-Канторовича — итерационный процесс и„+і = и„ — - [F'(m„)]_1F(m„) для решения уравнения F(u) = 0.

Метод Галеркина-Петрова — метод решения нелинейных уравнений путем проектирования уравнения на конечномерное подпространство и построения приближений в виде линейных комбинаций из этого подпро-странства.

Метод возмущений — метод решения нелинейных уравнений с малым параметром путем построения приближений в виде ряда по степеням этого параметра.