3.3.3 Многочлены

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов, т.e. алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух или нескольких одночленов.

Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом много­члена.

Если все члены многочлена записать в стандартном виде и привести подобные члены, то получится многочлен стандартного вида.

Например, приведем к стандартному виду многочлен

3х∙(-2ху2) + 4х∙ 5ху2 -(5ху2)2 + 8х2y4.

Для этого надо записать все одночлены в стандартном виде и привести подобные члены:

3х∙ (-2ху2) + 4х∙ 5ху2 -(5ху2)2 + 8х2y4=14x2y2-17x2y4.

В зависимости от числа членов многочлены называют двучленами, трех­членами и т.д. Одночлен также можно рассматривать как многочлен, сос­тоящий из одного члена.

Степенью многочлена называют наибольшую степень одночлена, входя­щего в этот многочлен.

Например, в многочлене 2х2у + 5x4y3 - ху + 6 наибольшую степень, равную 7, имеет одночлен 5х4у3. Значит, степень этого многочлена тоже равна 7.

1. При сложении и вычитании нескольких многочленов надо привести подобные члены. В результате снова получается многочлен.

2. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена. В результате снова получается многочлен; его нужно записать в стандартном виде.

Например: (3х-2у +z)·(5х-2z)=15х2-6xz-10ху+4yz+5xz-2z2=15х2-xz-10ху+4yz-2z2.

В результате сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем нескольких одночленов и многочленов снова получается многочлен.

3. Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

Например: (45х2у4-36х3у3):3х2у3=(45x2y4):(3x2y3)+ (-36х3у3):(3х2у3)=15у-12х.

4. Разделить многочлен на многочлен – значит найти новый многочлен, умножив который на делитель, получим делимое.

а) расположить многочлены по убывающим степеням буквы, относительно которой производится деление;

б) разделить первый член делимого на первый член делителя (это будет первый член частного);

в) умножить первый член частного на делитель и подписать полученное произведение под делимым;

г) вычесть из делимого подписанный под ним результат. Полученную разность назовем первым остатком. Если первый остаток равен нулю, то деление закончено, если же не равен нулю и степень его выше степени делителя, то разделить первый член первого остатка на первый член делителя (это будет второй член частного).

В дальнейшем действия повторяются до тех пор, пока какой-либо остаток не будет равен нулю или пока степень остатка не окажется меньше степени делителя.

В первом случае многочлен делится на многочлен без остатка.

Пример 1. Разделить 6x3-x2+5x-7 на 2x2+x+3.

Решение. 1-е действие: ;

2-е действие: 3х(2х2 + х + 3)= 6х3 + 3х2 + 9х;

3-е действие: вычитание из первой строки второй, причем степени с одинаковыми показателями располагают друг под другом.

4-е действие: сравнивают старшую степень полученного остатка со старшей степенью делителя. Если старшая степень 1-го остатка меньше старшей степени делителя, то деление закончено; если же больше или равна, то деление продолжается.

Второе действие для приведенного примера – деление старшего члена остатка на старший член делителя, т.е. . 2-й остаток (окончательный, т.к. его старший член (-2х) имеет степень меньшую, чем степень в старшем члене делителя 2х2).

Деление закончено.

Частное двух данных многочленов записывают в виде суммы целого и дроби, в числителе которой остаток, а в знаменателе многочлен-делитель.

В случае нашего примера:

или другая форма записи:.

Замечание. Процесс деления считается завершенным, когда остаток по старшей степени ниже делителя.

Пример 2. (x5+1):(x+1)=?

Решение. Продемонстрируем правило «деление в столбик»

x5+1 |x+1

-x5+x4 |x4-x3+x2-x+1

-x4+1

--x4-x3

x3+1

- x 3+x2

-x2+1

-x2-x

x+1

-x+1

Деление выполнено нацело, т.к. остаток равен 0.

Результат можно записать в виде: .

Пример 3. x4+2x3-3 : x-1=?

Решение.

Результат запишем в виде: x4+2x3-3 = (x-1)(x3+x2+3x+3).