3.3.4. Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (а + b)2 =a 2 + 2ab + b2.

2. Квадрат разности: (а ‑ b)2 = а2 ‑ 2ab + b2.

3. Куб суммы: (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

4. Куб разности: (a ‑ b)3 =a3 -3a2b + 3ab2 - b3.

5. Разность квадратов: (а + b) (a ‑ b) =a2 ‑ b2.

6. Сумма кубов: (а + b) (a2 -ab + b2) =а3 +b3.

7. Разность кубов: (а ‑ b) (a2 +ab + b2) =а3 ‑ b3.

Пример. Вывести тождества для .

Решение:

Пользуясь формулами для квадрата суммы и квадрата разности, получим:

(а - b + с)2 = а2 + b2 + с2 - 2ab + 2ac - 2bc;

Аналогично:

(a + b + c + d)2 =а2 +b2 +с2 +d2 + 2ab + 2ас + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.

Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения выражений.

Пример: (а + 1)(а ‑- 1) (а4+а2 + 1) + (а2 ‑ а + 1)(а + 1) =

= (а2 ‑ 1)(а4+а2+ 1) + (а+1)(а2 ‑ a+1) = (а6 ‑ 1) + (а3 + 1) = а6 +а3.

Здесь последовательно использовались формулы для разности квадратов, разности и суммы кубов.