§8. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, называемых гипотезами. Тогда справедлива следующая формула полной вероятности:

Формула читается так: вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

Пример 1. Имеется пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Введем обозначения:

А –– «стрелок попал в цель из наудачу взятой винтовки»;

Н1 –– «стрелок сделал выстрел из винтовки с оптическим прицелом»;

Н2 –– «стрелок сделал выстрел из винтовки без оптического прицела».

Согласно формуле полной вероятности:

Отсюда, учитывая, что

получаем:

С помощью формулы полной вероятности легко находим так называемую формулу Байеса

при .

Вывод формулы Байеса весьма прост. Мы имеем:

а также

Приравнивая правые части, получим:

откуда следует:

.

Подставляя значение Р(А) из формулы полной вероятности, получаем формулу Байеса.

Пример 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3 , для второго –– 0,5 , для третьего –– 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы: Н1 –– на линию огня вызван первый стрелок, Н2 –– на линию огня вызван второй стрелок, Н3 –– на линию огня вызван третий стрелок.

Очевидно, что

В результате опыта наблюдалось событие А –– после двух выстрелов мишень не поражена.

Условные вероятности этого события при гипотезах Н1, Н2, Н3 равны соответственно:

По формуле Байеса находим вероятность гипотезы Н1 после опыта: