§9. Формула Бернулли

Пусть при проведении некоторого однократного испытания вероятность появления события А равна р, а непоявления –– q = 1 – p. Требуется найти вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз.

Искомую вероятность обозначим Pn(m). Она вычисляется по формуле

Pn(m) =

Эта формула называется формулой Бернулли. Проиллюстрируем теперь полученную формулу двумя примерами.

Пример 1. Играются шесть партий между двумя шахматистками Аней и Лизой. Считаются только победы и поражения. В случае ничьей, партия не имеет порядкового номера и переигрывается. Вероятность выигрыша каждой отдельной партии Аней равна . Вероятность выигрыша каждой отдельной партии Лизой равна . Чему равна вероятность выигрыша всей игры Аней, Лизой и ничейного результата?

Решение. Победит в матче Аня, если она выиграет 4, 5 или 6 партий. Вероятность этого события равна:

Для Лизы вероятность победы в матче равна:

Вероятность ничьей равна:

Пример 2. Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000 ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 ч работы?

Решение. Будем рассматривать горение каждой лампы в течение 1000 ч как отдельный опыт.

Тогда искомая вероятность составит

Пусть фиксировано. Тогда превращается в некоторую функцию аргумента k, принимающего значения 0, 1, 2, …, . Выясним при каком значении аргумента эта функция достигает максимума, т.е. какое из чисел является наибольшим.

Составим отношение:

Из неравенств:

а) откуда и

б) откуда и ––

следует:

если , т.е. при увеличении от 0 до , функция возрастает,

при (если целое неотрицательное)

если , т.е. при дальнейшем увеличении , функция убывает.

Целое число , при котором вероятность достигает наибольшего значения, называется наивероятнейшим числом успехов.

Возможны два случая:

а) –– целое число, тогда целым числом будет и ; ; оба эти числа и равноправно представляют наивероятнейшее число успехов, причем

;

б) –– нецелое, тогда нецелым числом будет и . Между этими нецелыми числами имеется лишь одно целое значение аргумента, большее, чем и меньшее, чем , т.е. имеется единственное значение , являющееся наивероятнейшим числом успехов; число есть целый корень двойного неравенства

.

Пример 3. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь и , следовательно, =45.

Докажем сейчас, что число можно рассматривать в определенном смысле как среднее число успехов в опытах. Условимся называть кратное повторение данного опыта серией. Допустим, что произведено серий. Пусть в первой серии было получено успехов, во второй –– ,…, в –й –– . Составим среднее арифметическое этих чисел:

Записанная выше дробь со знаменателем есть не что иное, как отношение общего числа успехов в этих опытах к числу опытов. С увеличением (а значит и ) эта дробь будет приближаться к числу –– вероятности успеха. Таким образом, число будет приближаться к , что и требовалось получить.

Пример 4. В условиях данного предприятия вероятность брака равна 0,03. Чему равно среднее число бракованных изделий на тысячу?

Решение. Искомое число