§9. Формула Бернулли
Пусть при проведении некоторого однократного испытания вероятность появления события А равна р, а непоявления –– q = 1 – p. Требуется найти вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз.
Искомую вероятность обозначим Pn(m). Она вычисляется по формуле
Pn(m) = 
Эта формула называется формулой Бернулли. Проиллюстрируем теперь полученную формулу двумя примерами.
Пример 1. Играются шесть партий между двумя шахматистками Аней и Лизой. Считаются только победы и поражения. В случае ничьей, партия не имеет порядкового номера и переигрывается. Вероятность выигрыша каждой отдельной партии Аней равна 
. Вероятность выигрыша каждой отдельной партии Лизой равна 
. Чему равна вероятность выигрыша всей игры Аней, Лизой и ничейного результата?
Решение. Победит в матче Аня, если она выиграет 4, 5 или 6 партий. Вероятность этого события равна:
Для Лизы вероятность победы в матче равна:
Вероятность ничьей равна:
Пример 2. Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000 ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 ч работы?
Решение. Будем рассматривать горение каждой лампы в течение 1000 ч как отдельный опыт.
Тогда можно сказать, что произведено 5 опытов. Нас интересуют события «горят 3 лампы из 5», «горят 4 лампы из 5», «горят 5 ламп из 5», т.е. мы можем найти вероятность каждого из этих событий по формуле Бернулли, учитывая, что
и 
: 
Тогда искомая вероятность составит 
Пусть 
фиксировано. Тогда 
превращается в некоторую функцию аргумента k, принимающего значения 0, 1, 2, …, . Выясним при каком значении аргумента эта функция достигает максимума, т.е. какое из чисел 
является наибольшим.
Составим отношение:
Из неравенств:
а) 
откуда 
и 
б) 
откуда 
и 
––
следует:
если 
, т.е. при увеличении 
от 0 до 
, функция возрастает,
при 
(если целое неотрицательное) 
если , т.е. при дальнейшем увеличении , функция убывает.
Целое число 
, при котором вероятность достигает наибольшего значения, называется наивероятнейшим числом успехов.
Возможны два случая:
а) –– целое число, тогда целым числом будет и 
; 
; оба эти числа и 
равноправно представляют наивероятнейшее число успехов, причем
;
б) –– нецелое, тогда нецелым числом будет и 
. Между этими нецелыми числами имеется лишь одно целое значение аргумента, большее, чем и меньшее, чем 
, т.е. имеется единственное значение , являющееся наивероятнейшим числом успехов; число есть целый корень двойного неравенства
.
Пример 3. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.
Решение. Здесь 
и 
, 
следовательно, =45.
Докажем сейчас, что число 
можно рассматривать в определенном смысле как среднее число успехов в опытах. Условимся называть кратное повторение данного опыта серией. Допустим, что произведено 
серий. Пусть в первой серии было получено 
успехов, во второй –– 
,…, в –й –– 
. Составим среднее арифметическое этих чисел:
Записанная выше дробь со знаменателем 
есть не что иное, как отношение общего числа успехов в этих опытах к числу опытов. С увеличением (а значит и ) эта дробь будет приближаться к числу 
–– вероятности успеха. Таким образом, число 
будет приближаться к , что и требовалось получить.
Пример 4. В условиях данного предприятия вероятность брака равна 0,03. Чему равно среднее число бракованных изделий на тысячу?
Решение. Искомое число 