1.8. Формула полной вероятности.
Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из n несовместимых событий 
.
, где события BAi и BAj с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: 
. Применяя теорему умножения, находим:
 | (1.8.1) |
Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет важную роль во всей дальнейшей теории.
В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.
Пример 1. Имеется пять урн:
2 урны состава A1 — по два белых шара и одному черному,
1 урна состава A2—по 10 черных шаров,
2 урны состава A3 — по три белых шара и одному черному.
Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)?
Так как вынутый шар может быть только из урны 1-го, 2-го или 3-го состава, то 
.
По формуле полной вероятности
 |
Но
 |
Таким образом, 
.
Пример 2. Известно, что вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени t равна 
.
Считая, что появление какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми, найти вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длительности 2t.
Решение. Обозначим через 
событие, состоящее в поступлении k вызовов за время 
. Очевидно, что мы имеем следующее равенство: 
, которое означает, что событие 
можно рассматривать как сумму s+1 несовместимых событий, состоящих в том, что за первый промежуток времени длительности t поступает i вызовов, а за следующий промежуток той же продолжительности — поступает s — i вызовов 
.
По теореме сложения вероятностей
 |
По теореме умножения вероятностей для независимых событий
 |
Таким образом, если положить 
, то 
.
Впоследствии мы увидим, что при некоторых весьма общих условиях 
. 
, где а — некоторая константа.
находим:
 |
Но
 |
Поэтому
 |
Для промежутков времени, в два раза больших, и, как легко убедиться, для любых кратных t промежутков времени характер формулы для вероятности сохраняется.