<<
>>

1.8. Формула полной вероятности.

Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из n несовместимых событий .

Иными словами, положим , где события BAi и BAj с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: .

Применяя теорему умножения, находим:

(1.8.1)

Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет важную роль во всей дальнейшей теории.

В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

Пример 1. Имеется пять урн:

2 урны состава A1 — по два белых шара и одному черному,

1 урна состава A2—по 10 черных шаров,

2 урны состава A3 — по три белых шара и одному черному.

Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)?

Так как вынутый шар может быть только из урны 1-го, 2-го или 3-го состава, то .

По формуле полной вероятности

Но

Таким образом, .

Пример 2. Известно, что вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени t равна .

Считая, что появление какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми, найти вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длительности 2t.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в поступлении k вызовов за время . Очевидно, что мы имеем следующее равенство: , которое означает, что событие можно рассматривать как сумму s+1 несовместимых событий, состоящих в том, что за первый промежуток времени длительности t поступает i вызовов, а за следующий промежуток той же продолжительности — поступает s — i вызовов .

По теореме сложения вероятностей

По теореме умножения вероятностей для независимых событий

Таким образом, если положить , то .

Впоследствии мы увидим, что при некоторых весьма общих условиях . , где а — некоторая константа.

находим:

Но

Поэтому

Для промежутков времени, в два раза больших, и, как легко убедиться, для любых кратных t промежутков времени характер формулы для вероятности сохраняется.

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 1.8. Формула полной вероятности.:

  1. Суждения достоверности и вероятности.
  2. Оценка вероятности индуктивных умозаключений
  3. Формула полной вероятности.
  4. Формула Бейеса. (формула гипотез)
  5. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
  6. Цепи Маркова.
  7. §8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
  8. 2.4. Дискретная динамическая модель прогнозирования количества вызовов
  9. Содержание
  10. 1.8. Формула полной вероятности.
  11. 1.9 Формула Бейеса.
  12. Занятие 5. Формула полной вероятности.
  13. 5.1. Краткая теоретическаячасть
  14. 5.2. Тест.
  15. 5.3. Решение типовых задач
  16. 6.1. Краткая теоретическая часть
  17. 6.3. Решение типовых задач
  18. 9.3. Решение типовых задач
  19. 9.4. Задачи для самостоятельной работы
  20. Билет №4 Формула полной вероятности