<<
>>

9.2. Принятие решений в условиях полной определенности

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях.
Для рассматриваемых условий принятие решений может производиться:
по одному критерию;
по нескольким критериям.
Пример 9.1. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. С помощью экспериментальных наблюдений были определены значения частных критериев функционирования соответствующего оборудования выпускаемого тремя заводами-изготовителями. Рассмотрим данные для выбора оптимальной стратегии в условиях полной определенности (табл. 9.1).
Таблица 9.1 Варианты Частные критерии эффективности оборудования* оборудования (стратегии, решения) производительность, д. е. стоимость, д. е. энергоем-кость, у. е. надежность, у. е. Оборудование завода 1, Оборудование ап = 5 012 = 7 013 = 5 014 = 6 завода 2, *2
Оборудование а2{ = 3 022 = 4 023 = 7 024 = 3 завода 3, *з а31 = 4 032 = 6 033 = 2 034 = 4 * Значения частных критериев даны в условных единицах.
На основе экспертных оценок были также определены веса частных критериев Xpj =1,4:
Х{ = 0,4; Х2 = 0,2; Л3 = 0,1; Х4 = 0,3.
Очевидно, выбор оптимальной стратегии (варианта оборудования) по одному критерию в данной задаче не вызывает затрудне- ний. Например, если оценивать оборудование по надежности, то лучшим является оборудование завода 1 (стратегия х{).
Выбор оптимального решения по комплексу нескольких крите-риев (в нашем примере — по четырем критериям) является задачей многокритериальной.
Один из подходов к решению многокритериальных задач управления связан с процедурой образования обобщенной функции Fj (ап\ а 12, Я/3; ain), монотонно зависящей от критериев ап; ai2; я/3; ...; ain. Данная процедура называется процедурой (методом) свер-тывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например:
метод аддитивной оптимизации;
метод многоцелевой оптимизации и др.
Рассмотрим подробнее метод аддитивной оптимизации.
Пусть
(9.1)
Здесь выражение (9.1) определяет аддитивный критерий оптимальности. Величины Л/ являются весовыми коэффициентами, ко-торые определяют в количественной форме степень предпочтения у-го критерия по сравнению с другими критериями. Другими словами, коэффициенты Xj определяют важность у-го критерия оптимальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е.
iXj=l Л>0, (9.2)
j=і
Обобщенная функция цели (9.1) может быть использована для свертывания частных критериев оптимальности, если:
частные (локальные) критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число Хр которое численно характеризует его важность по отношению к другим критериям;
частные критерии являются однородными (имеют одинаковую размерность; в нашем примере критерии «стоимость оборудования» и «производительность оборудования» в условных денеж-ных единицах будут однородными).
В этом случае для решения задачи многокритериальной оптимизации оказывается справедливым применение аддитивного кри-терия оптимальности.
Допустим, в примере 9.1 необходимо выбрать оптимальный вариант оборудования по двум однородным локальным критериям:
производительность (д.
е.);
стоимость оборудования (д. е.).
На основе экспертных оценок были определены весовые коэффициенты этих двух частных критериев: Х{ = 0,667, Х2 = 0,333. Вычислим аддитивный критерий оптимальности для трех вариантов:
Fx(a{j) = Ххаи+Х2 а12 = 0,667 • 5 + 0,333 • 7 = 5,666;
F2(a2J) = Х{ а21 + Х2 а22 = 0,667 • 3 + 0,333 • 4 = 3,333; F3(a3j) = Х{ аЪ{ + Х2 аЪ2 = 0,667 • 4 + 0,333 • 6 = 4,666.
Очевидно, первый вариант оборудования по двум частным стоимостным критериям будет оптимальным, так как Fmax = Fx(axj) = = 5,666. В примере 9.1 четыре локальных критерия не однородны, т.е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев. Под нормализацией критериев понимается такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измерения. К настоящему времени разработано большое количество схем нормализации. Рассмотрим некоторые из них.
Определим максимум и минимум каждого локального критерия, т. е.
а/+ = max ay, і = \,т aj~ = min ахр і — 1 ,т.
Выделим группу критериев apj = М, которые максимизируются при решении задачи, и группу критериев aj,j = I + 1 которые минимизируются при решении задачи.
Тогда в соответствии с принципом максимальной эффективности нормализованные критерии определяются из следующих соотношений:
(9.5)
(9.6)
или
(9.7)
(9.8)
Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает максимальное значение функции цели:
F^iXj-ay, / = (9.9)
7-і
В соответствии с принципом минимальной потери нормализованные критерии определяются из соотношений
а» — %=1—7> = (9.10)
aJ
Т' J = e + l'n (9.11)
aj
или + „
а І -аи —
j = U; (9.12)
а ) -а:
А а;; -а;
Я/у =-7 _ > j = l + l,n. (9.13)
aj -а]
При этом оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает минимальное значение функции цели (9.9).
Пример 9.2.
Используя данные примера 9.1, определите оптимальную стратегию выбора оборудования из трех возможных (т = 3) с учетом четырех локальных критериев (п = 4).
Решение
Определим шах и min каждого локального критерия:
а* = 5; = 7; = 7; д4+ = 6.
При решении задачи максимизируются первый (производительность) и четвертый (надежность) критерии, а минимизируются второй (стоимость оборудования) и третий (энергоемкость) критерии.
Исходя из принципа максимизации эффективности, нормализуем критерии:
л - ai\. п "Г- «1
л _-2-і. -—Г-5 "" '
ax 3 A «21 _ 3 _n
A _ «31 _ 4 _n Я «31 = — ---0,8.
«1 J
«/4 =
«/4.
4"
A _ «14 _ 6 «4 6
a _ «24 _ 1 c. «24= —
4 6
«34 _ 4 _ 2 аз4"Г?
a2
a , «12 _1 Z_n.
o12=i— o2
л ?22. _ j 1_2.
~ a2 ~
л «32
4. Определим обобщенную функцию цели по каждому варианту: F\ = ^11 + ^12 + *13 + & 14 = = 0,4-1 + 0,2-0 + 0,1.| + 0,3-1 «0,729;
Г" Л А - Л - А ЛА
F2 = Aj Я21 + А2 Л22 + A3 а23 + А4 Я24 = = 0,4 • 0,6 + 0,2 • у + 0,1 • 0 + 0,3 • 0,5 « 0,476;
F3 = Х{ агх + А2 Я32 + А3 я33 + А4 я34 = = 0,4 • 0,8 + 0,2 • у + 0,1 • у + 0,3 • -j « 0,603.
Оптимальным является первый вариант оборудования, так как F = F. = о 729
1 шах 1 1
Рассмотренный подход к решению многокритериальных задач зачастую применяется при решении экономических задач, связанных с оценкой качества промышленной продукции и оценкой уровня технического совершенства технических устройств и систем по нескольким показателям.
Другим возможным методом решения многокритериальных задач является метод последовательных уступок. Вначале критерии ранжируются и нумеруются в порядке убывания важности. Абсолютное значение коэффициентов важности Xj на этом этапе не играет никакой роли. Оптимизируется первый по важности критерий ах и определяется его экстремальное значение ах. Затем назначает-
ся величина допустимого отклонения критерия от оптимального значения (уступка) и ищется экстремальное значение второго по важности критерия а2, при условии, что отклонение первого от оптимального значения не превзойдет величины уступки. Затем назначается уступка для второго критерия, и задача оптимизируется по третьему критерию и т. д. Таким образом, многокритериальная задача оптимизации заменяется последовательностью однокри- териальных задач. Решение каждой предыдущей задачи используется при решении последующих для формирования дополнитель-ных условий, состоящих в ограничении на величину уступки.
Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ
<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме 9.2. Принятие решений в условиях полной определенности:

  1. 4.1. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
  2. 15 Показатели экономической конъюнктуры, рыночной инфраструктуры. Принятие решения в условиях неопределенности и риска.
  3. 15.3 Принятие решения в условиях неопределенности и риска
  4. 2. Принятие решений на разных этапах подготовки издания
  5. 9.2. Принятие решений в условиях полной определенности
  6. 9.3. Принятие решений в условиях риска
  7. 9.4. Принятие решений в условиях неопределенности
  8. СРЕДЫ РЕШЕНИЯ И ВЫРАБОТКА РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
  9. Выработка решения в условиях определенности: оптимизационный анализ
  10. Выработка решения в условиях неопределенности
  11. Глава 1. Принятие решений в условиях риска.
  12. Глава 2. Принятие решений в условиях неопределённости.