9.3. Принятие решений в условиях риска
ожидаемое значение результата;
ожидаемое значение результата в сочетании с минимизацией его дисперсии;
известный предельный уровень результата;
наиболее вероятное событие (исход) в будущем.
Критерий ожидаемого значения используется в случаях, когда
требуется определить экстремальное значение (шах или min) результативного показателя (прибыль, расходы, экономические потери и т.
д.). Применение этого критерия рассмотрим на конкретном примере, связанном с постановкой задачи проведения ремонтно- профилактических воздействий автомобилей. Оптимальное количество ремонтных воздействий, определенное минимизацией суммарных затрат на заданной наработке LK с учетом рисков пропуска отказов и выполнения лишних ТО, приравнивается к количеству ТО на указанном пробеге. Модель данной задачи является моделью вероятностного спроса на ремонты с мгновенным восстановлением. Здесь минимизируются суммарные издержки за пробег LK, которые определяются затратами на плановый ремонт профилактику ST0 и незапланированный аварийный ремонт іУщ, рассматри-ваемый как штраф за пропуск отказа:(9.14)
S = ^р + ^ТО + min-
Составляющие суммарных затрат формулы (9.14) зависят от количества ремонтно-профилактических операций за наработку /,к, определяемых по формуле
(9.15)
где Lor — наработка до отказа.
Наработка до отказа — величина случайная, определяемая плотностью распределения /(L^), Lor < LK. В силу случайности L0T величина п также будет случайной с плотностью распределения г ( к 2 п \ ZJL П
(9.16)
Используя Цп) как весовую функцию и выражая составляющие суммарных затрат через соответствующие стоимости из (9.14), получим
Яр оо
? = СрЛр + J СтоЦ) ~n)f(n)dn + J Cm(n-nv)f(ri)dn^> min, (9.17)
где С, — средняя стоимость предупредительного (планового) ремонта;
Ст0средняя стоимость профилактики (или убыток от недоиспользования ресурса замененных при ТО деталей);
Сш - ущерб (штраф) от пропуска отказа (или стоимость устранения аварийного отказа).
Очевидно, Сш > Сто.Интеграл (9.16) в пределах [0, яр] соответствует риску выполнения лишних ТО (избыточность затрат на ТО), а интеграл в пределах [Яр, ©о] — риску пропуска аварийных отказов (избыточность затрат на TP по потребности). Из уравнения (9.17) находим оптимальное количество ремонтов яр на пробеге LK (обычно LK — пробег до КР). Далее, заменяя необходимые ремонты обслуживаниями, при которых выполняется комплекс операций по предупреждению отказов, включая предупредительные замены деталей, получим
(9.18)
v
^то - LJ п,
Пример 9.3. Определить оптимальную периодичность ТО (у. е.) при LK = 200 тыс. км, Сш = 69, Ср = 24, Сто = 15, если наработки до отказа имеют нормальное распределение с параметрами Lor = = 20 тыс. км и oL = 5 тыс. км.
1
'L -Г
-Чгг -Чуг
ехр
(9.19)
л/2я
-0,5.
Решение
Выполнив преобразование распределения (9.19) по формуле (9.15), получим (п > 1):
/(«) = к,— ехр -0,5 п аілі2л
\
После подстановки выражения (9.20) в (9.17) получим задачу оптимизации, для решения которой воспользуемся математическим пакетом EUREKA.
Решая задачу, получим оптимальную периодичность LT0 = 15,3 тыс. км при лр = 13,08, которая обеспечивает минимальные сум-марные издержки S.
Критерий ожидаемого значения позволяет получить достоверные оценки в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз, так как замена математического ожидания выборочными данными правомерна лишь при большом объеме выборки.
Если необходимость в принятии решения встречается редко, то выборочное значение может значительно отличаться от математи-ческого ожидания, а применение критерия ожидаемых значений может приводить к ошибочным результатам. В таких случаях рекомендуется применять критерий ожидаемого значения в сочетании с минимизацией его дисперсии, что приближает выборочное значение к математическому ожиданию. Критерий принимает следующий вид:
(9.21)
M(X) + KD(X)-+ min M(X)-KD(X)-*nіах,
где X — случайная величина (например, суммарные издержки);
D(X) — дисперсия этой величины;
К — заданная постоянная.
Постоянную К иногда интерпретируют как уровень несклонности к риску.
Считается, что К определяет «степень важности» дис-персии D(X) по отношению к М(Х). Например, предприниматель, особенно остро реагирующий на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от Л/(Л), может выбрать К много больше единицы. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему большие потери прибыли.Критерий предельного уровня не позволяет получить оптимальное решение, найти максимум прибыли и минимум расходов. Этот критерий дает возможность определить приемлемый (допустимый) способ действий. Например, транспортная фирма распродает автомобили, бывшие в эксплуатации. По каждой модели автомобиля определенного возраста определяется лимитная цена, т. е. мини-
мально допустимая цена продажи автомобиля. Продажа автомобилей по цене ниже лимитной приведет к убыточной работе транспортной фирмы. Это и есть предельный уровень, позволяющий транспортной фирме согласиться на первое же превышающее этот уровень предложение цены. Такой критерий не определяет опти-мальное решение, поскольку одно из последующих предложений может оказаться более выгодным, чем принятое.
Одно из преимуществ критерия предельного уровня заключается в том, что для него нет необходимости задавать в явном виде плотность распределения случайных величин. В нашем примере случайная величина — рыночная цена автомобиля. Транспортная фирма располагает информацией о распределении рыночных цен на подобные автомобили в неявном виде. Иначе при полном отсутствии информации о распределении рыночных цен фирма установила бы предельные цены на автомобили очень высокими или, на-оборот, очень низкими.
Критерий наиболее вероятного события (исхода) основан на преобразовании случайной ситуации в детерминированную путем замены случайной величины единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.