1.2.2. Интерполяционные многочлены

В общем случае интерполяционный многочлен (2), записанный в форме

(4)

называют многочленом Лагранжа.

Коэффициенты определяют из условий (3). Пусть в (4) , тогда для точки

и, следовательно,

.

Т.е. в кратком виде полином Лагранжа можно записать так:

. (5)

Можно доказать теорему:

Теорема: существует единственный интерполяционный многочлен – ой степени, значения которого совпадают со значениями функции в узлах интерполяции.

Поэтому, имея узел, можно построить интерполяционный многочлен степени .

Рассмотрим случай, когда узлы интерполирования равно отстоят друг от друга, т.е. . Конечными разностями первого порядка функции называются выражения

,

а в общем виде, разности первого порядка

border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/83.gif">, где .

Конечные разности второго порядка

,

или, в общем виде, разности второго порядка

. (7)

Аналогично, разность порядка m определяется формулой

. (8)

Вычисление разностей удобно оформлять в виде таблицы (см. табл.2). Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же строки из элемента последующей строки предыдущего столбца.

Т а б л и ц а 2

0
1							---
2						---	---
3	border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/113.gif">				---	---	---
4				---	---	---	---
5			---

Пример: функция задана таблицей

(Назовём эти данные экспериментальными).

Составить таблицу конечных разностей.

Результаты сведены в таблицу, содержащую разности до третьего порядка включительно.

0	0	5	0	4	8
1	1	5	4	12
2	2	9	16
3	3	25

Действительно, ,

, ,

,

,

.

Если узлы интерполирования равноотстоящие, т.е. , где – шаг интерполирования (а в нашем примере это так), то удобно искать интерполяционный многочлен в виде многочлена Ньютона:

. (9)

Коэффициенты при этом рассчитываются по формуле

. (10)