<<
>>

1.2.2. Интерполяционные многочлены

В общем случае интерполяционный многочлен (2), записанный в форме

(4)

называют многочленом Лагранжа.

Коэффициенты определяют из условий (3). Пусть в (4) , тогда для точки

и, следовательно,

.

Т.е. в кратком виде полином Лагранжа можно записать так:

. (5)

Можно доказать теорему:

Теорема: существует единственный интерполяционный многочлен – ой степени, значения которого совпадают со значениями функции в узлах интерполяции.

Поэтому, имея узел, можно построить интерполяционный многочлен степени .

Рассмотрим случай, когда узлы интерполирования равно отстоят друг от друга, т.е. . Конечными разностями первого порядка функции называются выражения

,

а в общем виде, разности первого порядка

border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/83.gif">, где .

(6)

Конечные разности второго порядка

,

или, в общем виде, разности второго порядка

. (7)

Аналогично, разность порядка m определяется формулой

. (8)

Вычисление разностей удобно оформлять в виде таблицы (см. табл.2). Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же строки из элемента последующей строки предыдущего столбца.

Т а б л и ц а 2

0
1 ---
2 --- ---
3 border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/113.gif"> --- --- ---
4 --- --- --- ---
5 ---

x 0 1 2 3
y 5 5 9 25

Пример: функция задана таблицей

(Назовём эти данные экспериментальными).

Составить таблицу конечных разностей.

Результаты сведены в таблицу, содержащую разности до третьего порядка включительно.

0 0 5 0 4 8
1 1 5 4 12
2 2 9 16
3 3 25

Действительно, ,

, ,

,

,

.

Если узлы интерполирования равноотстоящие, т.е. , где – шаг интерполирования (а в нашем примере это так), то удобно искать интерполяционный многочлен в виде многочлена Ньютона:

. (9)

Коэффициенты при этом рассчитываются по формуле

. (10)

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 1.2.2. Интерполяционные многочлены:

  1. 1.7. Схемы разделения секрета
  2. СПЛАЙН-ФУНКЦИИ
  3. Метод корреляционного моделирования
  4. Разложение многочлена на множители.
  5. 3.3.3 Многочлены
  6. 3.3.5. Разложение многочлена на множители
  7. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  8. 1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
  9. 1.2.1. Приближение функций одной переменной
  10. 1.2.2. Интерполяционные многочлены
  11. 1.2.3. Численное дифференцирование