1.2.1. Приближение функций одной переменной
Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.
Задача ставится следующим образом.
Пусть функция 
задана таблицей 1, в которой для 
значений аргумента 
известны значений функции 
.
Т а б л и ц а 1
 |  |  | … |  |
 |  |  | … |  |
Требуется вычислить значения функции для значений аргумента не совпадающих с заданными в таблице. Для этого неизвестную функцию 
заменяют функцией 
, аналитическое выражение которой известно.
называется интерполирующей функцией, а задача её нахождения – задачей интерполяции. Точки при этом называются узлами интерполяции. Таким образом, при интерполяции строится функция
, (1)
где 
– числовые коэффициенты, которые следует определить, а 
– известные функции. В качестве последних обычно используют алгебраические или тригонометрические многочлены и другие классы функций.
Рассмотрим некоторые методы интерполяции алгебраическими многочленами, т.е., когда интерполирующая функция – многочлен 
- ой степени, значения которого в узлах совпадают со значениями интерполируемой функции.
Построим многочлен
, (2)
который будет интерполяционным, если его значения совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполирования, т.е., если выполняется система из равенства
(3)
Задача состоит в вычислении коэффициентов 
(border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/59.gif">) интерполяционного многочлена.
Представление неизвестной функции через интерполирующую обеспечивается критериями согласия. Это либо критерий «точного совпадения в узлах», либо критерий «наименьших квадратов отклонений», либо критерий «минимума максимального отклонения».
Геометрически задачу интерполирования можно представить следующим образом.
На промежутке 
график функции заменяется графиком многочлена 
, проходящего через множество точек 
. При 
график функции на интервале 
заменяется отрезком прямой (линейная интерполяция), при 
график функции на интервале 
– отрезком параболы, проходящей через три точки – квадратичная интерполяция (рис. 1), где сплошная линия соответствует графику , а пунктирная – графику интерполяционного многочлена.
Рис.1. Интерполяция полиномами 1-й и 2-й степени.
Замечание: приближённое восстановление функции внутри минимального отрезка, содержащего все узлы интерполяции, называется интерполяцией функции, восстановление же вне этого отрезка называется экстраполяцией функции.