1.2.1. Приближение функций одной переменной

Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.

Задача ставится следующим образом.

Пусть функция задана таблицей 1, в которой для значений аргумента известны значений функции .

Т а б л и ц а 1

			…
			…

Требуется вычислить значения функции для значений аргумента не совпадающих с заданными в таблице. Для этого неизвестную функцию заменяют функцией , аналитическое выражение которой известно.

Таким образом, при интерполяции строится функция

, (1)

где – числовые коэффициенты, которые следует определить, а – известные функции. В качестве последних обычно используют алгебраические или тригонометрические многочлены и другие классы функций.

Рассмотрим некоторые методы интерполяции алгебраическими многочленами, т.е., когда интерполирующая функция – многочлен - ой степени, значения которого в узлах совпадают со значениями интерполируемой функции.

Построим многочлен

, (2)

который будет интерполяционным, если его значения совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполирования, т.е., если выполняется система из равенства

(3)

Задача состоит в вычислении коэффициентов (border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/59.gif">) интерполяционного многочлена.

Представление неизвестной функции через интерполирующую обеспечивается критериями согласия. Это либо критерий «точного совпадения в узлах», либо критерий «наименьших квадратов отклонений», либо критерий «минимума максимального отклонения».

Геометрически задачу интерполирования можно представить следующим образом.

На промежутке график функции заменяется графиком многочлена , проходящего через множество точек . При график функции на интервале заменяется отрезком прямой (линейная интерполяция), при график функции на интервале – отрезком параболы, проходящей через три точки – квадратичная интерполяция (рис. 1), где сплошная линия соответствует графику , а пунктирная – графику интерполяционного многочлена.

Рис.1. Интерполяция полиномами 1-й и 2-й степени.

Замечание: приближённое восстановление функции внутри минимального отрезка, содержащего все узлы интерполяции, называется интерполяцией функции, восстановление же вне этого отрезка называется экстраполяцией функции.