<<
>>

1.2.1. Приближение функций одной переменной

Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.

Задача ставится следующим образом.

Пусть функция задана таблицей 1, в которой для значений аргумента известны значений функции .

Т а б л и ц а 1

Требуется вычислить значения функции для значений аргумента не совпадающих с заданными в таблице. Для этого неизвестную функцию заменяют функцией , аналитическое выражение которой известно.

Эта функция называется интерполирующей функцией, а задача её нахождения – задачей интерполяции. Точки при этом называются узлами интерполяции.

Таким образом, при интерполяции строится функция

, (1)

где – числовые коэффициенты, которые следует определить, а – известные функции. В качестве последних обычно используют алгебраические или тригонометрические многочлены и другие классы функций.

Рассмотрим некоторые методы интерполяции алгебраическими многочленами, т.е., когда интерполирующая функция – многочлен - ой степени, значения которого в узлах совпадают со значениями интерполируемой функции.

Построим многочлен

, (2)

который будет интерполяционным, если его значения совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполирования, т.е., если выполняется система из равенства

(3)

Задача состоит в вычислении коэффициентов (border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/59.gif">) интерполяционного многочлена.

Представление неизвестной функции через интерполирующую обеспечивается критериями согласия. Это либо критерий «точного совпадения в узлах», либо критерий «наименьших квадратов отклонений», либо критерий «минимума максимального отклонения».

Геометрически задачу интерполирования можно представить следующим образом.

На промежутке график функции заменяется графиком многочлена , проходящего через множество точек . При график функции на интервале заменяется отрезком прямой (линейная интерполяция), при график функции на интервале – отрезком параболы, проходящей через три точки – квадратичная интерполяция (рис. 1), где сплошная линия соответствует графику , а пунктирная – графику интерполяционного многочлена.

Рис.1. Интерполяция полиномами 1-й и 2-й степени.

Замечание: приближённое восстановление функции внутри минимального отрезка, содержащего все узлы интерполяции, называется интерполяцией функции, восстановление же вне этого отрезка называется экстраполяцией функции.

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 1.2.1. Приближение функций одной переменной:

  1. § 11. Функция одного переменного
  2. Глава IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  3. § 51. Функции двух переменных, их графическоеизображение
  4. § 53. Экстремум функции нескольких переменных
  5. 17. Произв-венная функция с одним переменным фактором. Общий, ср и пред продукт: их динамика и взаимосв на гр.
  6. Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
  7. 4.6. Условный экстремум функции нескольких переменных.
  8. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
  9. Функции нескольких переменных
  10. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
  11. 1.2.1. Приближение функций одной переменной