Тема 15. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
Приращением функции в точке
, соответствующим приращению аргумента
называется выражение
.
Производной 1-ого порядка функции в точке
называется конечный предел
. Геометрический смысл производной состоит в том, что число
равно угловому коэффициенту касательной к графику функции
в точке
:
, где
- угол наклона касательной к оси
прямоугольной декартовой системы координат
.
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.
Если функция непрерывна в точке
и
, то говорят, что в точке
функция
имеет бесконечную производную.



Числа и
называются, соответственно левой и правой производными функции
в точке
. Условие
равносильно дифференцируемости функции
в точке
, при этом
.
Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точке
естественной области определения
функции
, в которой аналитическое выражение её производной
имеет смысл. Производная
, рассматриваемая на множестве тех точек
, где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производной
называется также дифференцированием функции
.
Основные правила дифференцирования элементарных функций.
1. Если и
дифференцируемые функции,
- постоянная, то:
| |
| ![]() ![]() |
| ![]() ![]() |
2. Если функция дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
, то сложная функция
дифференцируема в точке
и имеет производную:
или кратко
..
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.
.
Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции
, где
,
- дифференцируемые функции:
.
Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением
, то производная
этой неявной функции может быть найдена из уравнения
, линейного относительно
, где
-рассматривается как сложная функция переменной
.
Если и
-взаимно обратные дифференцируемые функции и
, то справедлива формула:
(правило дифференцирования обратной функции).
Если дифференцируемая функция задана параметрически:
,
, где
,
-дифференцируемые функции и
, то справедлива формула:
(правило дифференцирования функции заданной параметрически).
При дифференцировании сложных и обратных функций, а также функций заданных неявно и параметрически для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной
ведётся дифференцирование.
Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается
, т. е.
. В общем производной порядка
(
-ой производной) называется производная от
-ой производной и обозначается
, т.е.
.Для производной
используется также обозначение
. Производная
функции
вычисляется её последовательным дифференцированием:
,
,
, …,
. Если функция
задана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:
,
,….
Если функция дифференцируема в точке
, то её приращение
может быть представлено в виде:
, где
при
.
Дифференциалом функции
в точке
называется главная, линейная относительно
часть
приращения
функции:
. В частности, для функции
имеем
, т.е. дифференциал независимого переменного
совпадает с приращением
. Поэтому дифференциал функции
записывается в виде
. Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменная
является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Для функции одной переменной существование в точке
её дифференциала
и производной
равносильны.
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается
, т. е.
. В общем дифференциалом порядка
называется дифференциал от дифференциала
-ого порядка и обозначается
, т.е.
.
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала
функции
справедлива формула
.
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки
, в которой функция дифференцируема, по формуле:
, где
.
Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.
Уравнение касательной к графику функции в точке
имеет вид:
, а уравнение нормали - вид:
.
Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для
называется величина
, средней – величина
. Буква
- сокращение от слова
(предельный), буква
- сокращение от слова
(средний). Предельная величина
является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый абсолютный прирост
при изменении
на единицу.
Эластичностью функции в точке
называется предел
. Эластичность
, также как и
, является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый процентный прирост
при изменении
на один процент. Находят эластичность
функции
по формуле