1.2.3. Численное дифференцирование

Простейшие формулы численного дифференцирования получают в результате дифференцирования интерполяционных формул.

Допустим, известны значения функции в узлах .

При аппроксимации функции интерполяционным многочленом Ньютона

, (11)

где . Введём обозначение

, (12)

тогда интерполяционный многочлен Ньютона примет вид

, (13)

и, дифференцируя это выражение, получим

, (14)

а т.к. и , то

. (15)

Аналогично, формула для второй производной будет:

. (16)

Из полученных формул следует, что основная сложность состоит в нахождении производных и .

Получим расчётную формулу для первой производной :

Теперь пусть совпадает с одним из узлов интерполирования. Тогда все слагаемые, кроме одного, не содержащего разности будут равны нулю. И

(17)

.

Полученные формулы позволяют вычислить приближённые значения производной при любом количестве узлов. В частности, при двух узлах интерполирования (линейная интерполяция)

. (18)

При трёх узлах интерполирования (квадратичная интерполяция)

. (19)

При наличии четырёх узлов интерполирования формулы для производных примут вид:

(20)

Если производная вычисляется в нулевом узле, то и формулы (20) приобретают вид:

(21)

Ошибка при вычислении производных существенно увеличивается при увеличении порядка производной, поэтому обычно для вычисления производных порядка выше третьего этот метод не используется.

Более полное изложение этой темы Вы можете найти в [5], c.35-85. Вопросы для самопроверки по теме 1.2

1. В чём состоит задача интерполяции функции?

2. Какие критерии согласия обеспечивают совпадение неизвестной функции с интерполирующей?

3. Как называется интерполяция многочленами первой и второй степени?

4. Напишите общие формулы конечных разностей 1-го, 2-го и 3-го порядков.

5. Напишите формулу интерполяционного многочлена Ньютона для пяти узлов.

6. Чему равна третья производная при трёх узлах интерполирования?