<<
>>

1.2.3. Численное дифференцирование

Простейшие формулы численного дифференцирования получают в результате дифференцирования интерполяционных формул.

Допустим, известны значения функции в узлах .

Требуется вычислить производную . Строим интерполяционный многочлен и полагаем, что . Т.е. значения производных функции принимаются приближённо равными производным соответствующего порядка от многочлена интерполяции.

При аппроксимации функции интерполяционным многочленом Ньютона

, (11)

где . Введём обозначение

, (12)

тогда интерполяционный многочлен Ньютона примет вид

, (13)

и, дифференцируя это выражение, получим

, (14)

а т.к. и , то

. (15)

Аналогично, формула для второй производной будет:

. (16)

Из полученных формул следует, что основная сложность состоит в нахождении производных и .

Получим расчётную формулу для первой производной :

Теперь пусть совпадает с одним из узлов интерполирования. Тогда все слагаемые, кроме одного, не содержащего разности будут равны нулю. И

(17)

.

Полученные формулы позволяют вычислить приближённые значения производной при любом количестве узлов. В частности, при двух узлах интерполирования (линейная интерполяция)

. (18)

При трёх узлах интерполирования (квадратичная интерполяция)

. (19)

При наличии четырёх узлов интерполирования формулы для производных примут вид:

(20)

Если производная вычисляется в нулевом узле, то и формулы (20) приобретают вид:

(21)

Ошибка при вычислении производных существенно увеличивается при увеличении порядка производной, поэтому обычно для вычисления производных порядка выше третьего этот метод не используется.

Более полное изложение этой темы Вы можете найти в [5], c.35-85. Вопросы для самопроверки по теме 1.2

1. В чём состоит задача интерполяции функции?

2. Какие критерии согласия обеспечивают совпадение неизвестной функции с интерполирующей?

3. Как называется интерполяция многочленами первой и второй степени?

4. Напишите общие формулы конечных разностей 1-го, 2-го и 3-го порядков.

5. Напишите формулу интерполяционного многочлена Ньютона для пяти узлов.

6. Чему равна третья производная при трёх узлах интерполирования?

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 1.2.3. Численное дифференцирование:

  1. Город Лондон, численность населения которого к началу XIX в.
  2. Как только численность населения на данной территории достигала определенной величины (обычно 5 тыс. чел.),
  3. Общая численность постоянно разбухавшего чиновнического бюрократического аппарата достигала 800 тыс. чел. Судебная система
  4. Численное преобладание в рейхстаге имели представители Пруссии (235 мест из 397).
  5. § 4. Динамика численности мирового населения (история и современность)
  6. Абсолютная численность населения.
  7. Ситуации выбора как средство дифференцированного обучения биологии
  8. Численность производственного персонала
  9. 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВОЗДУХА В СИСТЕМЕ ВЕНТИЛЯЦИИ И ОТОПЛЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
  10. 3.5 Численное исследование эффективности регуляризирующего алгоритма
  11. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  12. 2.2. Тематический план дисциплины
  13. Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
  14. 1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
  15. 1.2.3. Численное дифференцирование
  16. Содержание
  17. 9.2 Численное дифференцирование
  18. Контрольные вопросы