9.2 Численное дифференцирование

В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции , заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции.

Для вывода формулы приближенного дифференцирования данную функцию заменяют интерполяционным полиномом , и полагают: на отрезке

Погрешность интерполирующей функции определяют разностью:

и тогда погрешность производной выражается формулой:

.

Получим формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона.

Пусть функция задана в равностоящих точках () отрезка . Функцию приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона:

(14)

Здесь - шаг интерполяции.

- первая конечная разность:

.

- вторая конечная разность: .

- конечные разности высших порядков:

.

Производя перемножение в формуле (14) и раскрывая факториал, получаем:

(15)

Учитывая, что , получаем формулу приближенного дифференцирования:

(16)

Аналогично для второй производной:

(17)

Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.

Если функция задана таблично, и значение производной нужно вычислить в узловых точках , то каждое табличное значение принимают за начальное и тогда . Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются. Полагая в формуле (17) , получаем:

. (18)

Для второй производной:

. (19)

Опустим теоретический вывод и приведем конечную формулу для вычисления погрешности производной:

(20)

где - это максимальный порядок конечной разности, входящий в интерполяционный полином Ньютона .

В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков функции . Рассмотрим подробно на примере вычисление конечных разностей некоторой функции.