9.2 Численное дифференцирование
В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции , заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции.
Для вывода формулы приближенного дифференцирования данную функцию заменяют интерполяционным полиномом
, и полагают:
на отрезке
Погрешность интерполирующей функции определяют разностью:
и тогда погрешность производной
выражается формулой:
.
Получим формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона.
Пусть функция задана в равностоящих точках
(
) отрезка
. Функцию
приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона:
(14)
Здесь - шаг интерполяции.
- первая конечная разность:
.
- вторая конечная разность:
.
- конечные разности высших порядков:
.
Производя перемножение в формуле (14) и раскрывая факториал, получаем:
(15)
Учитывая, что , получаем формулу приближенного дифференцирования:
(16)
Аналогично для второй производной:
(17)
Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.
Если функция задана таблично, и значение производной нужно вычислить в узловых точках , то каждое табличное значение принимают за начальное
и тогда
. Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются. Полагая в формуле (17)
, получаем:
. (18)
Для второй производной:
. (19)
Опустим теоретический вывод и приведем конечную формулу для вычисления погрешности производной:
(20)
где - это максимальный порядок конечной разности, входящий в интерполяционный полином Ньютона
.
В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков функции . Рассмотрим подробно на примере вычисление конечных разностей некоторой функции.