<<
>>

9.2 Численное дифференцирование

В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции , заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции.

В этих случаях прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формулы приближенного дифференцирования данную функцию заменяют интерполяционным полиномом , и полагают: на отрезке

Погрешность интерполирующей функции определяют разностью:

и тогда погрешность производной выражается формулой:

.

Получим формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона.

Пусть функция задана в равностоящих точках () отрезка . Функцию приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона:

(14)

Здесь - шаг интерполяции.

- первая конечная разность:

.

- вторая конечная разность: .

- конечные разности высших порядков:

.

Производя перемножение в формуле (14) и раскрывая факториал, получаем:

(15)

Учитывая, что , получаем формулу приближенного дифференцирования:

(16)

Аналогично для второй производной:

(17)

Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.

Если функция задана таблично, и значение производной нужно вычислить в узловых точках , то каждое табличное значение принимают за начальное и тогда . Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются. Полагая в формуле (17) , получаем:

. (18)

Для второй производной:

. (19)

Опустим теоретический вывод и приведем конечную формулу для вычисления погрешности производной:

(20)

где - это максимальный порядок конечной разности, входящий в интерполяционный полином Ньютона .

В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков функции . Рассмотрим подробно на примере вычисление конечных разностей некоторой функции.

<< | >>
Источник: Лабгаева Эмма Владимировна. Методические указания для студентов по проведению практических занятий по дисциплине «Математика». 2007

Еще по теме 9.2 Численное дифференцирование:

  1. 2.2. Средства автоматизации вычислений
  2. 2. Принцип непрерывных инноваций.
  3.   2.5 Методика проведения исследований
  4. Определение стоимости инвестиционного проекта.
  5. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  6. II ПРОГРЕСС, ЕГО ЗАКОН И ПРИЧИНА
  7. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.
  8. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  9. 2.2. Тематический план дисциплины
  10. Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
  11. 1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
  12. 1.2.3. Численное дифференцирование