<<
>>

Решение задач

Пример1 Найти вероятность выпадения числа кратного 3 при одном бросании игрального кубика.

Решение:

Событие А – выпадение числа кратного 3. Этому событию благоприятствуют два исхода: числа 3 и 6, т.е.

m=2. Общее число исходов состоит в выпадении чисел: 1,2,3,4,5,6, т.е. n=6. Очевидно, что эти события равновозможны и образуют полную группу. Тогда искомая вероятность, по определению, равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов. Р(А)=m/n=2/6=1/3.

Пример2 В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение: Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров:m=10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне:n=20.Тогда: Р(А)=m/n=10/20=0,5

Пример 3 Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.

Решение:

Событие А – выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А)=1/6. Событие в – выпадение цифры №, вероятность этого события Р(В)=1/6. События несовместные, поэтому Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=1/6+1/6=2/6=1/3.

Пример 4 Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из низ 20 комплектов мужской одежды, 6 – женской и14 – детской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда окажется не женской.

Решение:

Событие А – одежда мужская, вероятность Р(А)=20/40=1/2 Событие В – одежда женская, Р(В)=6/40=3/20 Событие С –одежда детская, Р(С)=14/40=7/20. Тогда Р(А+С)=Р(А)+Р(С)=1/2+7/20=17/20. В этом случае, если события А и В являются совместными, то справедлива следующая теорема.

Пример 5 Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,65, а второго 0,6. Определить вероятность поражения мишени при одновременных выстрелах двух стрелков.

Решение:

Так как при стрельбе возможно попадание в мишень двумя стрелками, то эти события совместные, следовательно

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(А*В)=0,65+0,6-0,39=0,86.

Пример6 В урне находятся 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Первым был вынул черный шар, найти вероятность того, что второй шар будет черным.

Решение:

Вероятность появления черного шара первый раз (событие В) равно Р(В)=3/10; а вероятность появления его второй раз (событие А), при условии, что событие В произошло, равно Р(А/В)=2/9, т.к. в урне осталось 9 шаров, из них 2 черных.

Рассмотрим закон умножения вероятностей для независимых событий.

Произведением двух событий А и В называют событие С=А*В, состоящее в совместном осуществлении этих событий.

Пример 7 В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела студент знает 30 вопросов, из 30 вопросов – 15, из 30 вопросов третьего – 10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.

Решение:

Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независимые события А1, А2, и А3,а их вероятности соответственно равны:

Р(А1)=30/40=3/4; Р(А2)=15/30=1/2; Р(А3)=10/30=1/3.

Тогда вероятность правильного ответа на билет Р(В), можно найти по формуле

Р(В)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=3/4*1/2*1/3=1/8=0,125.

Пример 8 Построить график ряда распределения значений частоты пульса в гипотетической группе из 47 человек по заданной таблице

Значения случайной величины уд/мин 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
Значения вероятности р (хi) 2

47

2

47

4

47

5

47

7

47

7

47

6

47

4

47

4

47

3

47

3

47

Решение:

По данным таблицы построен график, который является многоугольником распределения вероятностей.

Пример 9 Случайная величина Х задана функцией распределения:

F(x)= 0 при x < 1
(x - 1)

при 1 ≤ x ≤ 3

2
1 при x > 3

Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1;2) и (3;4).

Решение:

P1 = F(2) – F(1 ) = 2 – 1 1 – 1 = 0,5
2 2
P2 = F(4) – F (3) = 1 – 3 – 1 = 1 – 1 = 0
2

Пример10 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, зная закон её распределения.

Х -1 0 1 2 3
р 0,05 0,2 0,4 0,3 0,05

Решение:

По формуле находим:

M(X) = -1 ∙ 0,05 + 0 ∙ 0,2 + 1 ∙ 0,4 + 2 ∙ 0,3 + 3 ∙ 0,05 = 11

Пример 11 Найти математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, зная закон её распределения.

F(x) = 0 при x < 0
X при 0 ≤ x для вычисления интеграла получаем приближенное выражение:

y0 (1)

Здесь h – ширина интервала, y0 – значение функции, вычисленное в нижнемпределе интегрирования.

В общем случае, если интервал не является малым, то промежуток от a до b разбивается на n равных частей длины h= и для точек деления x0, x1, x2…x n вычисляются значения интегрируемой функции y=ƒ(x). Считаем, что x0 = a и x n = b. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммарной площадью полученных прямоугольников.

В этом случае для вычисления определенного интеграла получаем приближенное выражение

Формула прямоугольников:

(2)

Вычисленное значение тем точнее, чем больше n.

Оценка погрешности при вычислении по формуле прямоугольников определяется выражением:

R (3)

Где - максимальная величина абсолютного значения первой производной во всем интервале интегрирования. Причем

Вычисление определенных интегралов численными методами на практике проводятся с помощью ЭВМ. При этом формулу погрешностей не используют, а проводят расчеты, последовательно уменьшая шаг h: т.е. при h, , , …до тех пор, пока результаты расчетов практически перестанут изменяться.

9.1.2. Формула трапеций

В данном методе приближенного вычисления определенного интеграла площадь криволинейной трапеции заменяется площадью прямолинейной трапеции (рисунок 2). очевидно, что при той же затрате труда на вычисления, получим более точный результат, чем при замене площади криволинейной трапеции площадью прямоугольника.

(4)

Остаточный член (ошибка) формулы не превышает значения:

(5)

где - максимальное значение абсолютной величины производной второго порядка во всем интервале интегрирования.

В общем случае, если интервал интегрирования не мал, его делят на n равных частей и к каждому из них применяют формулу трапеций

(6)

или

(7)

Ошибка формулы трапеций для каждого малого интервала определяется формулой (-).

Суммируя все эти ошибки, получим, что абсолютное значение остаточного члена формулы (-) не превышает значения:

9.1.3. Формула Симпсона и ее остаточный член

Значительно более точные результатыполучаются, если площадь криволинейной трапеции заменяют площадью полосы, ограниченной сверху не прямой линией, а дугой параболы, проходящей через три точки кривой с абсциссами a, x1= a+h и b=a+2h (рисунок 3).

Значение определенного интеграла вычисляется по формуле:

. (8)

Формула () носит название формулы Симпсона.

Абсолютное значение остаточного члена формулы Симпсона не превышает значения:

(9)

- модуль максимального значения четвертой производной функции от функции ƒ(x) на интервале интегрирования .

Формула Симпсона является более точной по сравнению с формулой прямоугольников и

формулой трапеций.

В общем случае, интервал интегрирования разбивается на n=2m четное число равных частей и к

каждому удвоенному промежутку [x0, x2], [x2, x4], …, [x2-m, x2m] длины 2h (рисунок ) применяют

формулу Симпсона:

.

Приводя подобные слагаемые, получаем общую формулу Симпсона:

. (10)

Обозначим сумму нечетных значений функции σ1: σ1= y1+y3+…+y2m-1, а значений функции с четными индексами σ2: σ2=y2+y4+…+y2m-2.

Тогда формула (10) примет вид:

(11)

Ошибка формулы Симпсона (3.10) на каждом удвоенном промежутке , где k=1,2,…,m определяется формулой (3.8). Суммируя все эти ошибки, получим абсолютное значение остаточного члена общей формулы Симпсона в виде:

. (12)

Отметим, вообще, что выражение погрешности в виде определенной формулы имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, т.к. обыкновенно дает слишком грубый предел.

В ряде случаев отыскание четвертой производной подынтегральной функции оказывается затруднительным. В таких случаях для оценки погрешности вычисления интеграла по формуле Симпсона при выбранном шаге разбиения , если применяют специальный прием, называемый методом удвоения шага вычислений.

Вычисляется приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона, в которой принять . Назовем найденное значение интеграла . Далее шаг h удваивается, и вычисление по формуле Симпсона проводится для шага ; вновь найденное значение интеграла обозначим . Погрешность второго вычисления приблизительно в 16 раз больше погрешности первого, и обе погрешности имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность первого вычисления (при шаге ) можно приблизительно определять по формуле:

. (13)

Такой способ называют оценкой погрешности формулы Симпсона по методу удвоения шага вычислений.

<< | >>

Еще по теме Решение задач:

  1. Психологическая (морально-психологическая)подготовка направлена на решение следующих задач1:
  2. §1.2. Решение задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами.
  3. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  4. 5.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ НОРМАМИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
  5. 2.2 АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  6. 2.2П АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  7. 7.3. Графическое решение задачи линейного программирования
  8. 17.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ
  9. 11.2. Методы решения оптимизационных задач
  10. Социально-психологические факторы эффективности группового решения творческих задач.  
  11. Этап развития команды как фактор успешного группового решения творческих задач.  
  12. 8.4.7. ЭСКИЗНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ
  13. Решение задачи Коши методом Даламбера. ( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)