3.3.2 Одночлены

Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами, называют одночленом.

Степень числа с натуральным показателем и произведение степеней чи­сел с натуральными показателями также называют одночленами, так как в виде степени можно записать произведение равных множителей.

Стандартный вид одночлена – это такая запись одночлена, в которой есть только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а затем различные буквенные множители или их степени с натуральными показателями.

В стандартном виде одночлена нет одинаковых букв. Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно умножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место, а затем произведения одинаковых буквенных множителей записать в виде степени. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом этого одночлена.

Например, приведем к стандартному виду одночлен 3а2bc2· (-2ab2c)3 . По свойствам степени с натуральным показателем получим 3а2 bc2·(-2)3a3 (b2)3c3 =3а2bс2·(-8)а3b6с3. Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства умноже­ния, а также свойство степени с одинаковыми основаниями, получим -24a5b7c5.

Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.

Приведем основные правила действий над одночленами.

1. Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их один за другим и привести подобные члены, если они есть.

2. Чтобы вычесть одночлен из одночлена достаточно прибавить вычитаемое к уменьшаемому с противоположным знаком.

3. Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты и к полученному коэффициенту приписать множителем каждую букву из перемножаемых одночленов с показателем, равным сумме показателей этой буквы в сомножителях.

Например, .

4. Деление одночлена на одночлен основывается на правилах деления степеней, т.е. чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и к полученному результату приписать множителем каждую входящую букву с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе.

Например, .

5. Для возведения одночлена в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту степень каждый его множитель.

При умножении одночленов или возведении в степень с натуральным показателем снова получается одночлен.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его буквенных множителей. Если одночленом является число, то степень такого одночлена считается равной нулю.

Например, 4х2 – одночлен второй степени, 7х3y2z – одночлен шестой степени, 5 –одночлен нулевой степени.