Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е – единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А–1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E ? , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0, i ? j,

eij = 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А–1.

Таким образом, А–1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где Мji– дополнительный минор элемента аji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А–1.

det A = 4 – 6 = –2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= –2; x12= 1; x21= 3/2; x22= –1/2

Таким образом, А–1=.