Алгебра матриц.
Матрицы, их типы, операции над матрицами и их свойства. Умножение матриц и его свойства. Транспонирование матриц. Степени квадратной матрицы. Обратимость и односторонняя обратимость.
Делители нуля, необходимое условие обратимости, существование обратимых и необратимых матриц. Многочлены от матрицыПод матрицей понимаем совокупность чисел в виде таблицы размером mxn, где m – число строк, n – число столбцов
– элементы матрицы
, где 
Типы матриц:
- Квадратная матрица, m=n
Квадратная матрица, у которой 
называется диагональной
- Диагональная матрица, элементы диагональной матрицы – 
Диагональная матрица, у которой все элементы диагонали равны, называется скалярной
если в скалярной матрице все элементы равны 1, то она называется единичной матрицей
- Единичная
- Треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю
Верхнетреугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю
Нижнетреугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю
Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) – треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице
или 
- 0-матрица – матрица, в которой все элементы равны 0
Операции над матрицами и их свойства:
- Равенство матриц.
Обозначение:
Две матрицы и 
размера mxn называются равными, если 
, при 
и 
Т.е. две матрицы называются равными, если равны их размеры и элементы, стоящие на одинаковых позициях совпадают
- Сложение матриц. Обозначение: 
Суммой двух матриц (одинакового размера) и 
называется матрица 
, такая что 
, при 
и
Свойства:
| 
|
- Умножение матрицы на число
Умножением матрицы 
на число 
называется 
, т.е. 
Свойства:
| 
|
- Разность матриц.
Обозначение:
Разностью двух матриц (одинакового размера) и называется матрица 
, такая что 
, при и
- Перемножение матриц
Произведением двух матриц (одинакового размера) и 
называется матрица 
элементы которой вычисляются по формуле: 
Свойства:
| 
|
матрицы называются перестановочными (или коммутирующими)
0 - перестановочная
Любые две диагональные матрицы являются перестановочными
Транспонирование матриц
Матрица 
называется транспонированной к , если её элементы вычисляются по формуле 
, при и
Свойства:
| 
|
, 
Степени квадратной матрицы:
Обратимость и односторонняя обратимость
(нет в тетради, на лекциях по матрицам была на всех)
Делители нуля, необходимое условие обратимости, существование обратимых и необратимых матриц
(нет в тетради, на лекциях по матрицам была на всех)
Многочлены от матрицы
