Алгебра матриц.

Матрицы, их типы, операции над матрицами и их свойства. Умножение матриц и его свойства. Транспонирование матриц. Степени квадратной матрицы. Обратимость и односторонняя обратимость.

Под матрицей понимаем совокупность чисел в виде таблицы размером mxn, где m – число строк, n – число столбцов

– элементы матрицы

, где

Типы матриц:

- Квадратная матрица, m=n

Квадратная матрица, у которой называется диагональной

- Диагональная матрица, элементы диагональной матрицы –

Диагональная матрица, у которой все элементы диагонали равны, называется скалярной

если в скалярной матрице все элементы равны 1, то она называется единичной матрицей

- Единичная

- Треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю

Верхнетреугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю

Нижнетреугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) – треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице

или

- 0-матрица – матрица, в которой все элементы равны 0

Операции над матрицами и их свойства:

- Равенство матриц.

Две матрицы и размера mxn называются равными, если , при и

Т.е. две матрицы называются равными, если равны их размеры и элементы, стоящие на одинаковых позициях совпадают

- Сложение матриц. Обозначение:

Суммой двух матриц (одинакового размера) и называется матрица , такая что , при и

Свойства:

- Умножение матрицы на число

Умножением матрицы на число называется , т.е.

Свойства:

- Разность матриц.

Разностью двух матриц (одинакового размера) и называется матрица , такая что , при и

- Перемножение матриц

Произведением двух матриц (одинакового размера) и называется матрица элементы которой вычисляются по формуле:

Свойства:

матрицы называются перестановочными (или коммутирующими)

0 - перестановочная

Любые две диагональные матрицы являются перестановочными

Транспонирование матриц

Матрица называется транспонированной к , если её элементы вычисляются по формуле , при и

Свойства:

,

Степени квадратной матрицы:

Обратимость и односторонняя обратимость

(нет в тетради, на лекциях по матрицам была на всех)

Делители нуля, необходимое условие обратимости, существование обратимых и необратимых матриц

(нет в тетради, на лекциях по матрицам была на всех)

Многочлены от матрицы