§ 5. Алгебра арабов.

Арабская математика12" это синтез греческой и индусской.

У арабов нет взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами. Отсюда раздвоенность их алгебры.

Числовые уравнения определяют неизвестные числа, но эги же уравнения можно мыслить и как определяющие неизвестные геометрические величины.

Риторическая формулировка Амаями уравнений: "Квадрат и десять корней равны тридцати девяти; (х2 + 10х = 39 - прим.

Этим уравнениям можно придать форм}' в виэтовской символике: Q + 10R= 39,

но уравнение это относится и к геометрическим величинам, т.е. мыслится как

AQ+ 10 in А = 39 sol, причем решив последнее, молено решить и первое, ио первое молеет не иметь решения, когда второе его имеет.

Амаями, высказывая для уравнения

х2 I- рх = q общую риторическую формулу

замечает, что если вопрос арифметический, то необходимо выполнение двух условий: 1) чтобы число корней, т.е. р было четное (т.е. делимое иа2, для получения — целым), и 2) чтобы квадрат половины числа корней р

и число q составляли в сумме полный квадрат; в противном случае вопрос арифметически невозможен, но геометрически не представляет затруднения.

Арабами устанавливаются геометрические выводы130 общих формул или общих правил разрешения уравнения. В до-алгебраический период геометрігческие задачи, разрешаемые с помощью уравнений 2-й степени, сводятся к одной исследованной Евклидом задаче. Впрочем, сам Евклид это ие всегда сознает. Задачи второго порядка у него сводятся к раз-личным геометрическим задачам, им разрешаемым.

Видимо, эта возможность была сознана только арабами, заменившими общую задачу Евклида более частной и более простой.

Из этой задачи и извлекались сперва формулы решения квадратного уравнения.

I

м

Н F \ К D

А Черт.

L

Дальнейшая стадия, это замена ее выводом, аналогичным доказательствам П-й книги "Начал" Евклида, это доказательство приводит возможность установки, по образцу 11-й книги, основных законов формальных алгебраических операций и вывода отсюда только с помощью f этих операций алгебраических формул.

Такими доказательствами пользуется еще и Виэта131 для уравнения:

р >0

х2 + рх = q

Берется чертеж (2).

АВ = х, AG = р AG делится пополам, GD = DA и на DB строится квадрат.

Если отложить на EG 1 GB EG = х и привести EL наль ВН пересечет EL в вершине К квадрата ABKL = х2. Формула

В

АВ, то диаго-

G

х + Р. = q -I- —,

2 J 4

дающая

"Н-т

доказуется тем, что, если

q = DBMIKF,

то, с одной стороны,

q = ABLK + KLMI + DAJCF = x2 + px, а с другой стороны,

DBMI-I = |x , т.е. DB = x + у и вместе с тем

р2

DBMIKF + ЕКШ = q +

4