§ 1. Числовая и буквенная алгебра с методической точки зрения.
Обычно начинают изучение алгебры с буквенных формул, сперва учатся определять их числовое значение, затем производить над ними действия, а числовая алгебра является уже позже108.
Но мне представляется это методической ошибкой.
Решение числового уравнения усваивается целиком гораздо легче, чем решение уравнения буквенного. Обозначение неизвестного каким-либо символом - более простая идея, чем обозначение символами различных величин, предполагаемых заданными, но тем не менее имеющими произвольное значение.Каждый из учителей знает то затруднение, которое возникает при решении буквенных уравнений признание членов а3х, 2а3х, ах подобными в противоречии с раньше устанавливаемым понятием подобия.
К числовой алгебре следует подводить уже при решении арифметических задач, согласно историческому ходу алгебры, представляя решение сперва в риторической1"'1 затем синкопированной"0 и, наконец, символической форме, но производя те именно операции, которыми задачи эти решает алгебра.
Привожу примеры1":
10 грифелей и 20 карандашей стоят 1 р. 20 к.
10 грифелей и 25 карандашей стоят 1 р. 45 к.
Что стоит грифель и что стоит карандаш?
Решение в форме наглядно-риторической: так как во втором случае приходится платить больше и притом на 1 р. 45 к. - 1 р. 20 к. = 25 к., то это потому, что было 25 - 20 = 5 лишних карандашей. Значит 5 карандашей стоят 25 к., а один 25 : 5 = 5 к.
От этой формы легко перейти к форме
10 гр. + 20 кр. = 120
10 p. + 25 кр. = 145 и путем вычитания получить 5 кр. = 25 коп.
и, наконец, в форме чисто символической: 10х + 20у = 120 10х + 25у - 145 5у = 25 у = 5
Следующим типом являются задачи, определяемые уравнениями: kax + Ь,у = с ах + b2y = d
25 мер овса и 20 пудов сена стоят 16 р. 50 к. 5 мер овса и 12 пудов сена стоят 4 р. 90 к.
Устанавливается, что 25 мер овса и 60 пудов сена стоят 24 р. 50 к., а разность, т.е. 40 пудов сена, стоят 8 руб., поэтому 1 пуд. - 20 к. От наглядно-риторического решения переходим к символическому решению уравнений:
25х + 20у = 1650 5х + 12у = 490 обычными приемами.
Наконец приходим к типу, отвечающему общему случаю; а,х + Ь,у = с, а,х + Цу =с.
За 7 груш и 11 яблок уплачено 29 к. За 9 груш и 12 яблок уплачено 33 к. Сколько стоит груша и яблоко?
Следует отметить еще одно затруднение при прохождении' буквенной алгебры.
Под а, Ь, с . . . разумеются числа"2.
Но какие числа? В иных случаях самый ход действий предполагает, что а, Ь, с... обязательно целые числа, когда, например, находим общий наибольший делитель 50, а3, Ь1, с1, и 75, а1, Ь3, с2, объявляя его равным 25а2Ь3с\ В других же случаях, например, при определении числовых значений формулы, а, Ь, с имеют и дробные рациональные значения. В дальнейшем а, Ь, с - уже какие угодно числа, как рациональные, так и иррациональные.