§2. Величины различных измерений старой алгебры.
Методические изыскания доллсны идти параллельно историческим .В иных случаях, хотя далеко не всегда, история может кое-чему научить методиста. Я подчеркиваю: не всегда, так кис великий биогенетический закон, приравнивающий филогенетическое113 развитие онтогенетическому114, - это только грубое приближение.
Бесспорно, что кое-что в алгебре давалось трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником • оно трудно усваивается.Так, повторяю, идея числовой алгебры проще, а потому и хронологически алгебра числовая предшествовала буквенной.
Но прибавлю, что много затруднений возникло и от основного взгляда на алгебру, на понимание смысла ее символов, причем через это понимание теперь, при арифметизироваипой с самых азов алгебре, ученик не должен проходить.
Когда предлагается буквенное уравнение ах2 -I- Ьх = с,
что означают буквы а, Ь, с и х (то, что в старой алгебре называлось характеристиками)? У нас такой ответ: а, Ь, с... известные числа, х - неизвестное число. Но если мы возвратимся к XVII и XVIII вв., то увидим другое положение.
Алгебраическая величина - это класс, объемлющий два вида непрерывных величин, каковыми являются геометрические величины: длины, поверхности, объемы и дискретные, т.е. числа, причем понятие числа ие вдет дальше рациональной области115, a b понимается или как результат умножения числа а на число Ь, или как результат умножения отрезка а на отрезок Ь, причем это последнее подвергается также эволюции: в первоначальном понимании это площадь прямоугольник), настроенного на а и b (между а и Ь, как говорит Евклид)116.
Но над этими понятиями стоит объемлющее их понятие умножения (multiplicatio), понимаемое как получение количества, которое к умножаемому имеет то же отношение, какое множитель к единице (Ренальди- ни"7 говорит - "к posilum", т.е. положенному, избегая говорить "к единице", относя последнюю только к числам).
Виэта"8 говорит: числовая логистика (по нашему алгебра) это та, которая оперирует с числами, специфически! же оперирует видами (especes) или формами, гак буквами алфавита.
Виэта различает величніш различных порядков:
линейные
площади - planum
телесные - solidum.
Что они теряют свой первоначальный геометрический смысл, это следует из того, что Внэтой признается и soliduin-planum и planum- planuin1" ит.д.
Но, во всяком случае, это разнородные величииы, которые нельзя складывать и вычитать120.
Но возможно умножение и деление, а так же понятие равенства отношений, или пропорции; отношения, как к однородным, так и к неоднородным величинам.
Можно писать пропорція! х plan : A plan = В sol: 1 solid, дающую, согласно определению умножения: х = A plan ¦ В sol,
Умножение алгебраическое ни в коем случае ие сводится к сложению. Эта мысль выявляется и в принятой Виэтой символике: 18Q это 18 раз взятый квадрат: Q + Q + Q + ...
всего 18 раз. Произведение же А на В пишется так A in В.Насколько серьезное затруднение рождает этот взгляд, можно видеть из следующего характерного примера. Виэта выдвигает операцию: "protonescialion"121, ведущую к превращению первого члена в последний и обратно.
С нашей точки зрения это весьма элементарная операция: преобразование уравнения:
х5 - bx = а (1)
подстановкой
а
х=_ (2)
У
Подстановка эта дает сперва
а3 Ьа — = а,
У У
а по сокращении на а и умножении на у3 а2 - by2 = у3.
или у3 + by2 = а2
Но Виэта так не может поступать, Во-первых, при его понимании характеристик уравнение (1) просто не имеет смысла: из объема вычитается площадь и в результате получается длина.
Следует заметить, что неизвестные у Виэты означаются не последними буквами алфавита, а гласными.
Уравнение (1) представляется122 в следующей синкопированной
форме;
Acubus 1 1 ч
> aequal . Z soudo - В piano in A J
Если положим А123 равным , то куб А будет
Ері
Zsolido . solido. solido E piano. piano. piano
Z solido _ .
умножается на В в алгебраическом смысле.
Е piano
Согласно терминологии Виэты - ducetur in В planum; в результате уравнение обращается в следующее:
Zsol.sol.sol „ .inZsol „ ...
--Bpl aeq . Z solido
Ері. pi. pi. pi Epl
Дальше идет умножение на Е pi . pi . pi, Antithesis (или перенос второго числа в первую с измененным знаком) и перестановка частей уравнения.
Е pi. cubus + В piano in Е piano quedrato aequatur Z solidi quadrato
или
E cub + В plan aeq Z solidi quadrato
Понимая же E как величину иного измерения, чем А, получается довольно серьезное затруднение. Обычно во второй части ставится Z solid, неизвестные всегда линейные величины, а преобразование приводит курав- нению, в котором корень понимается уже в новом смысле.