<<
>>

§2. Величины различных измерений старой алгебры.

Методические изыскания доллсны идти параллельно историческим .В иных случаях, хотя далеко не всегда, история может кое-чему научить методиста. Я подчеркиваю: не всегда, так кис великий биогенетический закон, приравнивающий филогенетическое113 развитие онтогенетическому114, - это только грубое приближение.

Бесспорно, что кое-что в алгебре давалось трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником • оно трудно усваивается.

Так, повторяю, идея числовой алгебры проще, а потому и хронологически алгебра числовая предшествовала буквенной.

Но прибавлю, что много затруднений возникло и от основного взгляда на алгебру, на понимание смысла ее символов, причем через это понимание теперь, при арифметизироваипой с самых азов алгебре, ученик не должен проходить.

Когда предлагается буквенное уравнение ах2 -I- Ьх = с,

что означают буквы а, Ь, с и х (то, что в старой алгебре называлось характеристиками)? У нас такой ответ: а, Ь, с... известные числа, х - неизвестное число. Но если мы возвратимся к XVII и XVIII вв., то увидим другое положение.

Алгебраическая величина - это класс, объемлющий два вида непрерывных величин, каковыми являются геометрические величины: длины, поверхности, объемы и дискретные, т.е. числа, причем понятие числа ие вдет дальше рациональной области115, a b понимается или как результат умножения числа а на число Ь, или как результат умножения отрезка а на отрезок Ь, причем это последнее подвергается также эволюции: в первоначальном понимании это площадь прямоугольник), настроенного на а и b (между а и Ь, как говорит Евклид)116.

Но над этими понятиями стоит объемлющее их понятие умножения (multiplicatio), понимаемое как получение количества, которое к умножаемому имеет то же отношение, какое множитель к единице (Ренальди- ни"7 говорит - "к posilum", т.е. положенному, избегая говорить "к единице", относя последнюю только к числам).

Виэта"8 говорит: числовая логистика (по нашему алгебра) это та, которая оперирует с числами, специфически! же оперирует видами (especes) или формами, гак буквами алфавита.

Виэта различает величніш различных порядков:

линейные

площади - planum

телесные - solidum.

Что они теряют свой первоначальный геометрический смысл, это следует из того, что Внэтой признается и soliduin-planum и planum- planuin1" ит.д.

Но, во всяком случае, это разнородные величииы, которые нельзя складывать и вычитать120.

Но возможно умножение и деление, а так же понятие равенства отношений, или пропорции; отношения, как к однородным, так и к неоднородным величинам.

Можно писать пропорція! х plan : A plan = В sol: 1 solid, дающую, согласно определению умножения: х = A plan ¦ В sol,

Умножение алгебраическое ни в коем случае ие сводится к сложению. Эта мысль выявляется и в принятой Виэтой символике: 18Q это 18 раз взятый квадрат: Q + Q + Q + ...

всего 18 раз. Произведение же А на В пишется так A in В.

Насколько серьезное затруднение рождает этот взгляд, можно видеть из следующего характерного примера. Виэта выдвигает операцию: "protonescialion"121, ведущую к превращению первого члена в последний и обратно.

С нашей точки зрения это весьма элементарная операция: преобразование уравнения:

х5 - bx = а (1)

подстановкой

а

х=_ (2)

У

Подстановка эта дает сперва

а3 Ьа — = а,

У У

а по сокращении на а и умножении на у3 а2 - by2 = у3.

или у3 + by2 = а2

Но Виэта так не может поступать, Во-первых, при его понимании характеристик уравнение (1) просто не имеет смысла: из объема вычитается площадь и в результате получается длина.

Следует заметить, что неизвестные у Виэты означаются не последними буквами алфавита, а гласными.

Уравнение (1) представляется122 в следующей синкопированной

форме;

Acubus 1 1 ч

> aequal . Z soudo - В piano in A J

Если положим А123 равным , то куб А будет

Ері

Zsolido . solido. solido E piano. piano. piano

Z solido _ .

умножается на В в алгебраическом смысле.

Е piano

Согласно терминологии Виэты - ducetur in В planum; в результате уравнение обращается в следующее:

Zsol.sol.sol „ .inZsol „ ...

--Bpl aeq . Z solido

Ері. pi. pi. pi Epl

Дальше идет умножение на Е pi . pi . pi, Antithesis (или перенос второго числа в первую с измененным знаком) и перестановка частей уравнения.

Е pi. cubus + В piano in Е piano quedrato aequatur Z solidi quadrato

или

E cub + В plan aeq Z solidi quadrato

Понимая же E как величину иного измерения, чем А, получается довольно серьезное затруднение. Обычно во второй части ставится Z solid, неизвестные всегда линейные величины, а преобразование приводит курав- нению, в котором корень понимается уже в новом смысле.

<< | >>
Источник: Д.Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ. ФИЛОСОФИЯ, ПСИХОЛОГИЯ, МАТЕМАТИКА. 1998

Еще по теме §2. Величины различных измерений старой алгебры.:

  1. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  2. ФАУСТОВСКОЕ И АПОЛЛОНОВСКОЕ ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ
  3.   ПРАВИЛО XVI  
  4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАССУЖДЕНИЕ ИЗДАТЕЛЕЙ
  5. Глава 8 Пространственность числа
  6. ГЛАВА 1. НАУКА: ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ОПРОВЕРЖЕНИЯ[107]
  7. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  8. Спекулятивная терминология "Капитала"
  9. Приложение I (для коммунистов): "Перлы" диалектики марксизма
  10. 2. Графическая "Экономика" Пола Самуэльсона
  11. Тараканы на кухне экономических наук
  12. Математические и логические "перлы" у Жана Тироля
  13. ГИПАТИЯ, ИЛИ РАСТЕРЗАННАЯ МУЗА. К 1600-ЛЕТИЮ КАЗНИ ОТ РУК ФАНАТИКОВ-ХРИСТИАН
  14. Раздел I. Дисциплина чистого разума в догматическом применении
  15. Правило XVI
  16. Введение
  17. ИЗ ПРОШЛОГО ПЯТОЙ КНИГИ "НАЧАЛ" ЕВКЛИДА.
  18. §2. Величины различных измерений старой алгебры.