§ 8. Странности старой алгебры.
Интересно отметить, что второй операцией после антитезы выставляется превращение уравнения в пропорциюМ5.
В настоящее время применяется обратная операция: пропорция
А С
— = — сводится к AD = ВС.
Теперь никто уже не решится сводить квадратное уравнение
, , х Ь
х + ах = b к пропорции — =
b а + х
Мы легко поймем эту страшюсть, если вспомним что у Виэты алгебра еще не освободилась от геометрии, что решение уравнений легче иногда сводится к задачам геометрии, в которых пропорция играет валеную роль, входа во многие теоремы.
Значит пропорция здесь открывает не путь к формальным алгебраическим операциям, дающим решение, а к выводу решения чисто геометрическим путем.Другая странность обнаруживается в той форме, в которую облегается известное и столь видную ролі, играющее в элементарной алгебре положение о сумме корней квадратного уравнения, Мы скажем, что, если х( и хг - корни уравнения
Ьх -х1= С,
то
х + х = b Но форма выражения у старых алгебраистов совсем другая116: Даны два уравнения
Ьх - х2 = с by - у2 = с, если х корень первого, у - второго, то или X = у, или X + у = Ь.
Не будем забывать, что отрицательных корней нет у Виэты'"17, поэтому положение для уравнений
х2 - х - 6 = О X, + X, = 1
ие имеет смысла.
Но молено сказать, что, если х определяется уравнением _ х _ 6 = О,
а у уравнением
у2-у-6 = 0,
то или х = у, или х + у = 1, причем следует брать именно пераьш случай.
Указанное свойство берется не особняком, а как одно из свойств пар коррелятивных уравнений. Для уравнений
х2 + Ьх = с у2 - by = с
получаем
х = у или х - у = -Ь
для уравнений
Ьх - х2 = с у2 - by = с х-у = -b
Операции, которые приводят к намеченным результатам, это те, которые в школьной практике применяются к решению систем уравнений с двумя неизвестными.
Интересно еще отметить, что Виэта не выводит раз навсегда формулы
(а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2 (**) для того, чтобы, как делаем мы.
например, находя (Xі - Ьх2)2,подставлять в (**) х3 вместо а и -Ьх2 вместо Ь.
Учащиеся всегда именно в этом пункте встречают затруднения. Необходимо поработать над учеником, чтобы он научился свободно оперировать целыми выражениями как буквами. Но, я думаю, причину этой странности следует искать не только в непривычке оперирования буквенными выражениями как буквами, но в некотором видимом противоречии общности формулы с пониманием самих характеристик.
Закон (**) просто нельзя было выразить одной формулой.
Для В, С линейных молено писать
(В + С) in (В + С) = BQ + B in С.2 + CQ
Но, если они planum, то получается формула совершенно иная: (Bpl + Cpl) іи (Bpl + Cpl) = Bpl.Bpl in Cpl.2 + Cpl, Cpl и т.д. Кроме того, различно следует их писать для случая, когда величины известны и когда неизвестны, ибо принято обозначать гласными неизвестные, согласными известные.
Этот закон, невыражаемый т.о. формулой символически, не выражается и риторически; результат всегда получается процессом умножения.
Чаще всего приходится встречаться с этим в приведении к клима-тической симметрии148, что теперь называется освобождением от ирра- циональностей.
Приводим в виэтовской символике ход действий над уравнением: АС - Bpl in A aeq R Z sol.sol
здесь RZ = Vz AC - Bpl in A AC-Bpl in A
Bpl in AQQ + Bpl.pl in AQ ACC - Bpl in AOO
ACC - Bpl in AQQ.2 + Bpl.pl in AQ (коэффициент всегда пишется на последнем месте). Наконец A cubns.cubus + В plano.plano in AQ
В piano in AQQ bis aeq Z solido . solido14'
Отметим, что дальнейшее упрощение символики осуществляется тремя принципами:
буквы, поставленные друг около друга без знаков + или —, должны перемножаться
AQ обозначается в силу этого через АА, АС через AAA, затем AAA через А3 и т.д.;
коэффициенты пишутся, во избежание возможного смешения А2 и А2, в начале.
В первом издании своего труда Ренальдини еще вполне следует виэтовской символике, но в 1665 году он уже пишет: а7 + 2ае + е2 + bpl
а + е
а2е + 2ае2 +е3 +bpl.e
a3 -l-2a2e + ae2 +bpl.a 150
а3 + За2е + Зае2 + е3 + bpl.e -i- bpl.a